17.Rozwiąż równania i nierówności. W przypadku nierówność zbiór rozwiązań przedstaw na os liczbowej i zapisz za pomocą przedziału liczbowego:
a.3(2x - 1) + 5x = 2 - [4x - (1 - 2x)]
b.(x + 2)/2 + (4x)/3 = (2x - 1)/6 + 2
c.(4+x)²+14= (x-2)+2
d.|x - 3| = 2
e. |1 - 2x| = 3
f. |5 - x| ≤ 3
g. - 5x - 3 ≥ 2
h. x(x - 2) - (x + 1)(x - 3) = 1 + 2x
a.3(2x - 1) + 5x = 2 - [4x - (1 - 2x)]
b.(x + 2)/2 + (4x)/3 = (2x - 1)/6 + 2
c.(4+x)²+14= (x-2)+2
d.|x - 3| = 2
e. |1 - 2x| = 3
f. |5 - x| ≤ 3
g. - 5x - 3 ≥ 2
h. x(x - 2) - (x + 1)(x - 3) = 1 + 2x
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
a. Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie 3(2x - 1) + 5x = 2 - [4x - (1 - 2x)]
Zaczynamy od rozwiązania skomplikowanych nawiasów:
2 - [4x - (1 - 2x)] = 2 - [4x - 1 + 2x] = 2 - [6x - 1] = 2 - 6x + 1 = 3 - 6x
Podstawiamy ten wynik do równania:
3(2x - 1) + 5x = 3 - 6x
Rozwinięcie:
6x - 3 + 5x = 3 - 6x
11x - 3 = 3 - 6x
Przenosimy wszystkie x na jedną stronę, a liczby na drugą:
x + 6x = 3 + 3
17x = 6
x = 6/17
Więc rozwiązanie równania jest x = 6/17.
b. Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie (x + 2)/2 + (4x)/3 = (2x - 1)/6 + 2
Zaczynamy od rozwiązania skomplikowanych nawiasów:
(x + 2)/2 + (4x)/3 = (2x - 1)/6 + 2
Wyrównujemy mianowniki:
3(x + 2) + 8x = (2x - 1) + 12
Rozwinięcie:
3x + 6 + 8x = 2x + 11
11x + 6 = 2x + 11
Przenosimy wszystkie x na jedną stronę, a liczby na drugą:
11x - 2x = 11 - 6
9x = 5
x = 5/9
Więc rozwiązanie równania jest x = 5/9.
c. Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie (4+x)²+14= (x-2)+2
Rozwinięcie:
16 + 8x + x^2 + 14 = x - 2 + 2
x^2 + 8x + 30 = x
Przenosimy wszystkie x na jedną stronę, a liczby na drugą:
x^2 + 7x + 30 = 0
Rozwiązujemy to równanie kwadratowe:
(x + 5)(x + 6) = 0
Stąd mamy dwie możliwości:
x + 5 = 0, x + 6 = 0
x = -5, x = -6
Więc rozwiązanie równania to x = -5 lub x = -6.
d. Rozwiązanie:
Rozwiązujemy nierówność |x - 3| = 2
Wiemy, że wartość bezwzględna jest równa 2:
x - 3 = 2 lub x - 3 = -2
Rozwiązujemy obie równości osobno:
x = 5 lub x = 1
Więc rozwiązanie nierówności to x = 5 lub x = 1.
e. Rozwiązanie:
Rozwiązujemy nierówność |1 - 2x| = 3
Wiemy, że wartość bezwzględna jest równa 3:
1 - 2x = 3 lub 1 - 2x = -3
Rozwiązujemy obie równości osobno:
-2x = 2 lub -2x = -4
Rozwiązujemy oba równania:
x = -1 lub x = 2
Więc rozwiązanie nierówności to x = -1 lub x = 2.
f. Rozwiązanie:
Rozwiązujemy nierówność |5 - x| ≤ 3
Rozwiązujemy dwa przypadki oddzielnie:
Przypadek 1:
5 - x ≤ 3
Przenosimy x na jedną stronę:
5 - 3 ≤ x
2 ≤ x
Przypadek 2:
-(5 - x) ≤ 3
Zmieniamy znak na prawej stronie:
-x + 5 ≤ 3
Przenosimy x na jedną stronę:
5 - 3 ≤ x
2 ≤ x
Więc zbiór rozwiązań to x ∈ [2, ∞).
g. Rozwiązanie:
Rozwiązujemy nierówność -5x - 3 ≥ 2
Przenosimy liczby na jedną stronę, a x na drugą:
-5x ≥ 2 + 3
-5x ≥ 5
Odwracamy znak i zmieniamy strony:
x ≤ -1
Więc zbiór rozwiązań to x ∈ (-∞, -1].
h. Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie x(x - 2) - (x + 1)(x - 3) = 1 + 2x
Rozwinięcie:
x^2 - 2x - (x^2 - 2x - 3x + 3) = 1 + 2x
x^2 - 2x - x^2 + 2x + 3x - 3 = 1 + 2x
Skracamy:
3x - 3 = 1 + 2x
Przenosimy liczby na jedną stronę, a x na drugą:
3x - 2x - 2x = 1 + 3
-x = 4
Zmieniamy znak:
x = -4
Więc rozwiązanie równania to x = -4.