Question

Zbadaj monotoniczność ciągu określonego wzorem an=4-2/5^n

Answer 1

Odpowiedź:

Ciąg jest rosnący.

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]a_n=4-\left(\frac{2}{5}\right)^n\\a_{n+1}=4-\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}[/tex]

Trzeba zbadać znak różnicy:

[tex]a_{n+1}-a_n=\left(4-\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}\right)-\left(4-\left(\frac{2}{5}\right)^n\right)=4-\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}-4+\left(\frac{2}{5}\right)^n=\\=\left(\frac{2}{5}\right)^n-\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}=\left(\frac{2}{5}\right)^n-\left(\frac{2}{5}\right)^n*\frac{2}{5}=\left(\frac{2}{5}\right)^n\left(1-\frac{2}{5}\right)=\left(\frac{2}{5}\right)^n*\frac{3}{5} > 0[/tex]

Ponieważ powyższa różnica jest zawsze dodatnia, więc ciąg jest rosnący.