Question

Bok AC trójkąta ABC ma długość 13, a wysokość CD długość 12.
Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w punkcie P, który jest odległy
od boku ABO o 480/53.
a) Oblicz długość boku AB.
b) Oblicz długość boku BC

Answer 1

Odpowiedź:

a) Aby obliczyć długość boku AB, użyjemy wzoru na pole trójkąta:

S = 1/2 * AB * CD

oraz faktu, że wysokość CD jest prostopadła do boku AB, więc trójkąty ABC i ACD są podobne:

AB / AC = AC / AD

AB / 13 = 13 / 12

AB = 169/12

Teraz musimy obliczyć dwusieczną kąta BAC, aby znaleźć punkt P. Możemy to zrobić, korzystając z faktu, że dwusieczna dzieli przeciwprostokątną na długości odpowiadające bokom trójkąta, czyli:

BP / PC = AB / AC

BP / (BC - BP) = AB / AC

BP / (BC - BP) = AB / 13

Podstawiając wyliczoną wartość AB oraz mnożąc przez (BC - BP) na obu stronach, otrzymujemy:

BP^2 - BP * BC + BP * AB = 0

Rozwiązując to równanie kwadratowe względem BP, otrzymujemy:

BP = (BC * AB) / (AB + AC)

BP = (13 * 169/12) / (169/12 + 13)

BP = 676/53

Zatem odległość punktu P od boku ABC wynosi 480/53, co oznacza, że stosunek odcinków PB i PC wynosi:

PB / PC = 480/53 / BC

PB / (BC - PB) = 480/53 / BC

Rozwiązując to równanie względem BC, otrzymujemy:

BC = 2 * PB * (480/53) / (480/53 - PB)

BC = 14400/421 - 3388/421 * sqrt(977)

BC ≈ 4,114

b) Możemy również obliczyć długość boku BC, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ACD:

AC^2 = AD^2 + CD^2

13^2 = AD^2 + 12^2

AD^2 = 169 - 144

AD = 5

Teraz możemy wyznaczyć wysokość trójkąta ABC na bok BC, używając podobieństwa trójkątów ABC i ACD:

h / 13 = 5 / 12

h = 65/12

Stosując teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ABC, otrzymujemy:

BC^2 = AC^2 - h^2

BC^2 = 169 - (65/12)^2

BC ≈ 11,098

Stąd długość boku BC wynosi około 11,098 jednostek długości.