Question

50. Suatu kotak tanpa tutup dengan alas berbentuk persegi mempunyai volume 4 cm3. Luas maksimum permukaan kotak tersebut adalah....​

Answer 1

Panjang = 2 m

Lebar = 2 m

Tinggi = 1 m

Pembahasan

Ini merupakan persoalan aplikasi turunan dalam hal optimalisasi untuk mencari nilai minimum. Diketahui sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi dan mempunyai volume 4m³. Diminta ukuran panjang, lebar, dan tinggi kotak agar karton yang diperlukan sedikit mungkin.

Misalkan panjang dan lebar kotak sebagai alas berbentuk persegi adalah x sedangkan tinggi kotak adalah y. Satuan dalam meter.

Step-1: volum kotak

Volum kotak adalah volum balok, yaitu V = panjang x lebar x tinggi.

V = x²t

x²t = 4 ... (persamaan 1)

Step-2: luas permukaan kotak dari bahan karton

Kotak terdiri dari sebuah persegi dan empat buah persegi panjang. Bahan untuk membuat kotak adalah karton. Sehingga,

L = x² + 4xt ... (persamaan 2)

Step-3: optimalisasi luas permukaan karton

Luas permukaan akan kita optimalisasi menuju keadaan stasioner, sebelum itu substitusikan variabel t dari persamaan 1 ke persamaan 2.

Dari persamaan 1: t = \frac{4}{x^2}t=x24

Substitusi ke persamaan 2:

L = x^2 + 4x\big( \frac{4}{x^2} \big)L=x2+4x(x24)

Sekarang telah menjadi fungsi L(x), yakni

L(x) = x^2 + \frac{16}{x}L(x)=x2+x16

Atau,

L(x) = x^2 + 16x^{-1}L(x)=x2+16x−1

Keadaan stasioner L'(x) = 0

Jadi dilakukan proses turunan fungsi L(x) lalu sama dengan nol.

2x + (-1)16x^{-2} = 02x+(−1)16x−2=0

2x - \frac{16}{x^2} = 02x−x216=0

Agar menjadi persamaan yang tersusun rapi, kalikan kedua ruas dengan x² sekaligus membaginya dengan 2.

x³ - 8 = 0

Penyelesaian persamaan bentuk ini cukup mudah, di sini nilai x bersifat tunggal.

x³ = 8

Diperoleh x = 2.

Nilai x = 2 inilah yang membuat luas permukaan karton menjadi minimum. Nanti kita hitung juga berapa luas minimum bahan karton.

Substitusikan nilai x ke t = \frac{4}{x^2}t=x24 untuk memperoleh tingginya.

t = \frac{4}{2^2}t=224

t = 1

Dengan demikian ukuran-ukuran kotak agar karton yang diperlukan sesedikit mungkin adalah sebagai berikut:

panjang dan lebar alas persegi x = 2 m

tinggi kotak t = 1 m

- - - - - - -

Berapa luas minimum bahan karton yang diperlukan?

x = 2 \rightarrow L(x) = x^2 + 16x^{-1}x=2→L(x)=x2+16x−1

L(2) = 2^2 + \frac{16}{2}L(2)=22+216

Diperoleh luas minimum karton sebesar 32 m².

Pelajari lebih lanjut

Mencari ukuran tinggi kotak tanpa tutup agar volumnya maksimum

brainly.co.id/tugas/14936006

Menghitung besar sudut agar volume air yang tertampung maksimum brainly.co.id/tugas/15031846

Answer 2

Jawaban:

gx tau................