Question

pomocy plis

Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego a (alfa), jeśli:

1) tg a = 2 2/5
2) tg a = 4/5

(z użyciem tylko podstawowych zależności trygonometrycznych)

Answer 1

Temat: Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych

Obliczenia i wyjaśnienie poniżej ;)

Jakie wyróżniamy podstawowe funkcje trygonometryczne?

sinus ⇒ stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ostrego do długości przeciwprostokątnej

cosinus ⇒ stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie ostrym do długości przeciwprostokątnej

tangens ⇒ stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ostrego do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie ostrym

cotangens ⇒ stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie ostrym do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ostrego (odwrotność tangensa)

Podstawowe zależności trygonometryczne, których będę używać w tym zadaniu:

• jedynka trygonometryczna

[tex]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1[/tex]

• wzór na tangens

[tex]tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}[/tex]

Kroki rozwiązania zadania:

1. przyrównujemy wartość tangensa do wzoru sinα/cosα
2. mnożymy obustronnie przez cos
3. wstawiamy wartość sinusa w miejsce sin²α w jedynce trygonometrycznej i rozwiązujemy równanie (w równaniu obliczymy wartość cosinusa, a że α jest kątem ostrym to wartości wszystkich funkcji będą dodatnie)
4. obliczamy sinus
5. obliczamy cotangens ze wzoru 1/tgα

1)

[tex]tg\alpha=2\frac{2}{5}=\frac{12}{5}\\\\\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{12}{5} \ \ |\cdot cos\alpha\\\\sin\alpha=\frac{12}{5}cos\alpha\\\\sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\\(\frac{12}{5}cos\alpha)^2+cos^2\alpha=1\\\\\frac{144}{25}cos^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\\\frac{144}{25}cos^2\alpha+\frac{25}{25}cos^2\alpha=1\\\\\frac{169}{25}cos^2\alpha=1 \ \ |\cdot\frac{25}{169}\\\\cos^2\alpha=\frac{25}{169}\\\\cos\alpha=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}\\\\sin\alpha=\frac{12}{\not5}\cdot\frac{\not5}{13}=\frac{12}{13}[/tex]

[tex]ctg\alpha=\frac{1}{\frac{12}{5}}=\frac{5}{12}[/tex]

2)

[tex]tg\alpha=\frac{4}{5}\\\\\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{4}{5} \ \ |\cdot cos\alpha\\\\sin\alpha=\frac{4}{5}cos\alpha\\\\sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\\(\frac{4}{5}cos\alpha)^2+cos^2\alpha=1\\\\\frac{16}{25}cos^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\\\frac{16}{25}cos^2\alpha+\frac{25}{25}cos^2\alpha=1\\\\\frac{41}{25}cos^2\alpha=1 \ \ |\cdot\frac{25}{41}\\\\cos^2\alpha=\frac{25}{41}\\\\cos\alpha=\sqrt{\frac{25}{41}}=\frac{5}{\sqrt{41}}=\frac{5\sqrt{41}}{41}[/tex]

[tex]sin\alpha=\frac{4}{5}\cdot\frac{5\sqrt{41}}{41}=\frac{4\sqrt{41}}{41}\\\\ctg\alpha=\frac{1}{\frac{4\sqrt{41}}{41}}=\frac{41}{4\sqrt{41}}=\frac{\not41\sqrt{41}}{4\cdot\not41}=\frac{\sqrt{41}}{4}[/tex]