5. Podaj sumę trzech kolejnych liczb nieparzystych, z których pierwszą jest:
a) 2n + 1,
b) 2n - 1,
c) 2n - 5,
d) 4n+ 3.
D 6. Uzasadnij, że suma:
a) trzech kolejnych liczb podzielnych przez 3 jest podzielna przez 9,
b) czterech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8,
c) pięciu kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 10.
D 7. Uzasadnij, że iloczyn:
a) trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6,
b) trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 48,
c) czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 24.
Proszę o pomoc
a) 2n + 1,
b) 2n - 1,
c) 2n - 5,
d) 4n+ 3.
D 6. Uzasadnij, że suma:
a) trzech kolejnych liczb podzielnych przez 3 jest podzielna przez 9,
b) czterech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8,
c) pięciu kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 10.
D 7. Uzasadnij, że iloczyn:
a) trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6,
b) trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 48,
c) czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 24.
Proszę o pomoc
Verified answer
Oto rozwiązania zadań:5a) Niech pierwszą liczbą nieparzystą będzie 2n+1. Wtedy kolejne dwie liczby nieparzyste to 2(n+1)+1 oraz 2(n+2)+1. Ich suma wynosi:
(2n+1) + (2n+3) + (2n+5) = 6n + 9
5b) Niech pierwszą liczbą nieparzystą będzie 2n-1. Wtedy kolejne dwie liczby nieparzyste to 2(n+1)-1 oraz 2(n+2)-1. Ich suma wynosi:
(2n-1) + (2n+1) + (2n+3) = 6n + 3
5c) Niech pierwszą liczbą nieparzystą będzie 2n-5. Wtedy kolejne dwie liczby nieparzyste to 2(n+1)-5 oraz 2(n+2)-5. Ich suma wynosi:
(2n-5) + (2n-3) + (2n-1) = 6n - 9
5d) Niech pierwszą liczbą nieparzystą będzie 4n+3. Wtedy kolejne dwie liczby nieparzyste to 4(n+1)+3 oraz 4(n+2)+3. Ich suma wynosi:
(4n+3) + (4n+7) + (4n+11) = 12n + 21
6a) Niech dane trzy kolejne liczby podzielne przez 3 to: 3k, 3k+3, 3k+6. Ich suma wynosi:
3k + (3k+3) + (3k+6) = 9k + 9
Jest ona podzielna przez 9.
6b) Niech dane cztery kolejne liczby nieparzyste to: 2n-1, 2n+1, 2n+3, 2n+5. Ich suma wynosi:
(2n-1) + (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) = 8n + 8
Jest ona podzielna przez 8.
6c) Niech dane pięć kolejnych liczb parzystych to: 2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6, 2n+8. Ich suma wynosi:
2n + (2n+2) + (2n+4) + (2n+6) + (2n+8) = 10n + 20
Jest ona podzielna przez 10.
7a) Niech dane trzy kolejne liczby naturalne to: n, n+1, n+2. Ich iloczyn wynosi:
n(n+1)(n+2) = n^3 + 3n^2 + 2n
Jest on podzielny przez 6.
7b) Niech dane trzy kolejne liczby parzyste to: 2n, 2n+2, 2n+4. Ich iloczyn wynosi:
(2n)(2n+2)(2n+4) = 8n^3 + 24n^2 + 16n
Jest on podzielny przez 48.
7c) Niech dane cztery kolejne liczby naturalne to: n, n+1, n+2, n+3. Ich iloczyn wynosi:
n(n+1)(n+2)(n+3) = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n
Jest on podzielny przez 24.
Podaj sumę trzech kolejnych liczb nieparzystych, z których pierwszą jest:
a) 2n + 1:
Pierwsza liczba: 2n + 1
Druga liczba: 2n + 1 + 2 = 2n + 3
Trzecia liczba: 2n + 1 + 4 = 2n + 5
Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych (2n + 1, 2n + 3, 2n + 5):
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 6n + 9
b) 2n - 1:
Pierwsza liczba: 2n - 1
Druga liczba: 2n - 1 + 2 = 2n + 1
Trzecia liczba: 2n - 1 + 4 = 2n + 3
Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych (2n - 1, 2n + 1, 2n + 3):
(2n - 1) + (2n + 1) + (2n + 3) = 6n + 3
c) 2n - 5:
Pierwsza liczba: 2n - 5
Druga liczba: 2n - 5 + 2 = 2n - 3
Trzecia liczba: 2n - 5 + 4 = 2n - 1
Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych (2n - 5, 2n - 3, 2n - 1):
(2n - 5) + (2n - 3) + (2n - 1) = 6n - 9
d) 4n + 3:
Pierwsza liczba: 4n + 3
Druga liczba: 4n + 3 + 4 = 4n + 7
Trzecia liczba: 4n + 3 + 8 = 4n + 11
Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych (4n + 3, 4n + 7, 4n + 11):
(4n + 3) + (4n + 7) + (4n + 11) = 12n + 21
Uzasadnij, że suma:
a) trzech kolejnych liczb podzielnych przez 3 jest podzielna przez 9:
Załóżmy, że pierwsza z trzech kolejnych liczb podzielnych przez 3 to n. Zatem kolejne dwie liczby to n + 3 oraz n + 6. Suma tych liczb to n + (n + 3) + (n + 6) = 3n + 9. Wyrażenie 3n + 9 jest wielokrotnością liczby 3 (3 * (n + 3)). Oznacza to, że suma trzech kolejnych liczb podzielnych przez 3 jest podzielna przez 3 i równocześnie przez 9.
b) czterech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8:
Załóżmy, że pierwsza z czterech kolejnych liczb nieparzystych to n. Zatem kolejne trzy liczby to n + 2, n + 4 i n + 6. Suma tych liczb to n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) = 4n + 12. Wyrażenie 4n + 12 jest wielokrotnością liczby 4 (4 * (n + 3)). Oznacza to, że suma czterech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 4 i równocześnie przez 8.
c) pięciu kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 10:
Załóżmy, że pierwsza z pięciu kolejnych liczb parzystych to n. Zatem kolejne cztery liczby to n + 2, n + 4, n + 6 i n + 8. Suma tych liczb to n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) + (n + 8) = 5n + 20. Wyrażenie 5n + 20 jest wielokrotnością liczby 5 (5 * (n + 4)). Oznacza to, że suma pięciu kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 5 i równocześnie przez 10.
Uzasadnij, że iloczyn:
a) trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6:
Załóżmy, że pierwsza z trzech kolejnych liczb naturalnych to n. Zatem kolejne dwie liczby to n + 1 oraz n + 2. Iloczyn tych liczb to n * (n + 1) * (n + 2). Przyjmijmy trzy przypadki:
Gdy n jest parzyste, wtedy n * (n + 1) * (n + 2) jest iloczynem trzech kolejnych liczb parzystych, więc jest podzielne przez 2.
Gdy n jest podzielne przez 3, wtedy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych zawiera czynnik 3.
Gdy n jest resztą 1 modulo 3, wtedy n + 2 jest podzielne przez 3, więc iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych zawiera czynnik 3.
Zatem iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 2 oraz przez 3, co oznacza, że jest podzielny przez 6.
b) trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 48:
Załóżmy, że pierwsza z trzech kolejnych liczb parzystych to n. Zatem kolejne dwie liczby to n + 2 oraz n + 4. Iloczyn tych liczb to n * (n + 2) * (n + 4). Przyjmijmy trzy przypadki:
Gdy n jest podzielne przez 2, wtedy n * (n + 2) * (n + 4) jest iloczynem trzech kolejnych liczb parzystych, więc jest podzielne przez 2^3 = 8.
Gdy n jest podzielne przez 4, wtedy n * (n + 2) * (n + 4) jest iloczynem trzech kolejnych liczb podzielnych przez 4, więc jest podzielne przez 4.
Gdy n jest podzielne przez 6, wtedy n + 4 jest podzielne przez 3, więc iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych zawiera czynnik 3.
Zatem iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8 oraz przez 4, co oznacza, że jest podzielny przez 8 * 4 = 32. Ponadto, w przypadku, gdy n jest podzielne przez 6, jest ono podzielne przez 48. Oznacza to, że iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 48.
c) czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 24:
Załóżmy, że pierwsza z czterech kolejnych liczb naturalnych to n. Zatem kolejne trzy liczby to n + 1, n + 2 i n + 3. Iloczyn tych liczb to n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3). Przyjmijmy cztery przypadki:
Gdy n jest podzielne przez 2, wtedy n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) jest iloczynem czterech kolejnych liczb parzystych, więc jest podzielne przez 2^3 = 8.
Gdy n jest podzielne przez 3, wtedy n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) jest iloczynem czterech kolejnych liczb podzielnych przez 3, więc jest podzielne przez 3^2 = 9.
Gdy n jest podzielne przez 4, wtedy n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) jest iloczynem czterech kolejnych liczb podzielnych przez 4, więc jest podzielne przez 4^2 = 16.
Gdy n jest podzielne przez 8, wtedy n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) jest iloczynem czterech kolejnych liczb podzielnych przez 8, więc jest podzielne przez 8^2 = 64.
Zatem iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 8, 9, 16 i 64. Najmniejszym wspólnym wielokrotnością tych liczb jest 144. Oznacza to, że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 144, co jest równoważne podzielności przez 24 (24 * 6 = 144).