W salonie gier stoi sześć automatów do gry. Na trzech z nich można wygrać z prawdopodobieństwem 4/9 , na dwóch – z prawdopodobieństwem 1/2, a na jednym z prawdopodobieństwem 3/5. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej w tym salonie, jeśli automat jest wybierany losowo.
Prawdopodobieństwo wygranej na automacie z prawdopodobieństwem 4/9 to (4/9).
Prawdopodobieństwo wygranej na automacie z prawdopodobieństwem 1/2 to (1/2).
Prawdopodobieństwo wygranej na automacie z prawdopodobieństwem 3/5 to (3/5).
Teraz musimy uwzględnić prawdopodobieństwo wyboru każdego z automatów. Ponieważ automat jest wybierany losowo, prawdopodobieństwo wyboru każdego z automatów wynosi 1/6 (bo jest 6 automatów).
Teraz możemy obliczyć całkowite prawdopodobieństwo wygranej, korzystając z prawo całkowitej prawdopodobieństwa:
(4/9) * (1/6) + (1/2) * (1/6) + (3/5) * (1/6) = (4/54) + (3/12) + (18/30) = (2/27) + (1/4) + (18/30) = (16/216) + (54/216) + (129/216) = 199/216
Prawdopodobieństwo wygranej w tym salonie wynosi 199/216.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Aby obliczyć prawdopodobieństwo wygranej w tym salonie, można zastosować prawo całkowitej prawdopodobieństwa, uwzględniając prawdopodobieństwa wygranej na każdym z automatów oraz ich prawdopodobieństwa wyboru.
Jeśli automat jest wybierany losowo, możemy obliczyć średnie prawdopodobieństwo wygranej w salonie gier.
Dla trzech automatów o prawdopodobieństwie wygranej 4/9: (4/9) * (1/6) = 4/54
Dla dwóch automatów o prawdopodobieństwie wygranej 1/2: (1/2) * (1/3) = 1/6
Dla jednego automatu o prawdopodobieństwie wygranej 3/5: (3/5) * (1/6) = 3/30
Sumując te wartości, otrzymujemy:
(4/54) + (1/6) + (3/30) = 2/9
Więc prawdopodobieństwo wygranej w tym salonie gier wynosi 2/9.