Question

5. Kąt a w ostrosłupie prostym o podstawie prostokąta, przedstawionym na poniższym rysunku, ma miarę:
A. 30°
B. 60°
C. 45°
D. mniej niż 30°

Answer 1

A. 30°

Stereometria - kąt w ostrosłupie.

Ostrosłup to bryła posiadająca jedną podstawę, która jest wielokątem. Ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Ostrosłup prosty to taki ostrosłup, którego ściany boczne są trójkątami równoramiennymi (wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości).

Definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:

Niech dany będzie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex], przeciwprostokątnej długości [tex]c[/tex] i kącie ostrym [tex]\alpha[/tex] leżącym naprzeciw przyprostokątnej [tex]a[/tex].

Wówczas:

[tex]\sin\alpha=\dfrac{a}{c}\\\\\cos\alpha=\dfrac{b}{c}\\\\\text{tg}\alpha=\dfrac{a}{b}\\\\\text{ctg}\alpha=\dfrac{b}{a}[/tex]

Twierdzenie Pitagorasa:

Niech dany będzie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] oraz przeciwprostokątnej długości [tex]c[/tex]. Wówczas:

[tex]a^2+b^2=c^2[/tex]

ROZWIĄZANIE:

Połowa przekątnej podstawy, wysokość ostrosłupa i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny z kątem ostrym α.

Obliczamy długość [tex]d[/tex] przekątnej podstawy (prostokąta) korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

[tex]d^2=14^2+8^2\\\\d^2=196+64\\\\d^2=260\to d=\sqrt{260}\\\\d=\sqrt{4\cdot65}\\\\d=2\sqrt{65}[/tex]

Z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym otrzymujemy równanie:

[tex]\sin\alpha=\dfrac{\frac{2\sqrt{65}}{2}}{2\sqrt{65}}=\dfrac{1}{2}[/tex]

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów dostępnej w karcie wzorów odczytujemy miarę kąta [tex]\alpha[/tex]:

[tex]\alpha=30^o[/tex]