Question

5. Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki o różnych
znakach?
a) x² + (4- m)x - 4m+ m² = 0
b) x² - (2m+1)x+m² + m -6=0

Answer 1

Funkcja kwadratowa

Postać ogólna funkcji kwadratowej to

[tex]\huge\boxed{f(x)=ax^2+bx+c}[/tex]

gdzie a, b i c to współczynniki, przy czym a≠0.

Ilość miejsc zerowych (miejsc przecięcia wykresu funkcji z osią OX) jest zależna od wyróżnika funkcji kwadratowej

[tex]\huge\boxed{\Delta=b^2-4ac}[/tex]

Funkcja ma:

• 2 miejsca zerowe, jeżeli Δ>0:
  [tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
• 1 miejsce zerowe, jeżeli Δ=0:
  [tex]x_0=\frac{-b}{2a}[/tex]
• nie ma miejsc zerowych, jeżeli Δ<0.

Wzory Viete'a

Jeżeli równanie kwadratowe ax²+bx+c=0, gdzie a≠0 ma dwa rozwiązania, to zachodzą zależności:

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{c}x_1+x_2=-\frac{b}a\\\\x_1x_2=\frac{c}a\end{array}}[/tex]

Rozwiązanie:

Wiemy, że funkcja kwadratowa ma dwa rozwiązania wtedy, kiedy Δ>0. Jeżeli dwa rozwiązania mają różne znaki, to musi zajść zależność x₁x₂<0. W tym wypadku skorzystamy ze wzorów Viete'a.

Szukamy zbioru liczbowego, który spełni oba z poniższych założeń:

[tex]\huge\boxed{\left \{ {{\Delta > 0} \atop {x_1x_2 < 0}} \right. }[/tex]

a)

1. Sprawdzamy dla jakich wartości parametru m, równanie ma dwa rozwiązania.

[tex]x^2+(4-m)x-4m+m^2=0\\a=1\\b=4-m\\c=-4m+m^2\\(4-m)^2-4*1*(-4m+m^2) > 0\\16-8m+m^2-4(-4m+m^2) > 0\\m^2-8m+16+16m-4m^2 > 0\\-3m^2+8m+16 > 0\\\\\Delta=8^2-4*(-3)*16=64+192=256\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{256}=16\\m_1=\frac{-8-16}{-6}=\frac{-24}{-6}=4\\m_2=\frac{-8+16}{-6}=\frac{8}{-6}=-\frac43\\m\in(-\frac43; 4)[/tex]

2. Sprawdzamy dla jakich wartości parametru m, rozwiązania tego równania mają różne znaki.

[tex]x_1x_2 < 0\\\frac{c}a < 0\\\frac{-4m+m^2}1 < 0\\-4m+m^2 < 0\\m^2-4m < 0\\\Delta=(-4)^2-4*1*0=16\\\sqrt{\Delta}=4\\m_1=\frac{4-4}2=\frac{0}2=0\\m_2=\frac{4+4}2=\frac{8}2=4\\m\in(0; 4)[/tex]

3. Wyznaczamy część wspólną obu obliczonych zbiorów liczb. To nasze rozwiązanie.

[tex]\left \{ {{m\in(-\frac43; 4)} \atop {m\in(0; 4)}} \right. \\\\\boxed{m\in(0; 4)}[/tex]

Odp. Równanie ma dwa pierwiastki o różnych znakach dla parametru m z przedzialu (0; 4)

b)

Ten przykład rozwiązujemy analogicznie do poprzedniego.

1. Dwa pierwiastki

[tex]x^2-(2m+1)x+m^2+m-6=0\\a=1\\b=-(2m+1)=-2m-1\\c=m^2+m-6\\(-2m-1)^2-4*1*(m^2+m-6) > 0\\4m^2+4m+1-4(m^2+m-6) > 0\\4m^2+4m+1-4m^2-4m+24 > 0\\24 > 0[/tex]

Ta nierówność jest zawsze prawdziwa dla każdego m ze zbioru liczb rzeczywistych.

[tex]m\in \mathbb{R}[/tex]

2. Wzór Viete'a - pierwiastki o różnych znakach

[tex]x_1x_2 < 0\\\frac{c}a < 0\\\frac{m^2+m-6}1 < 0\\m^2+m-6 < 0\\\Delta=1^2-4*1*(-6)=1+24=25\\\sqrt{\Delta}=5\\m_1=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}2=-3\\m_2=\frac{-1+5}2=\frac42=2\\m\in(-3; 2)[/tex]

3. Część wspólna

[tex]\left \{ {{m\in \mathbb{R}} \atop {m\in(-3; 2)}} \right.[/tex]

[tex]\boxed{m\in(-3; 2)}[/tex]

Odp. Równanie ma dwa pierwiastki o różnych znakach dla parametru m z przedzialu (-3; 2)