Question

5 Diketahui matriks B = y -2 3 7 3 -3 y- Jika B adalah matriks singular, carilah nilai y dengan menggunakan operasi baris elementer.​

Answer 1

Diketahui matriks [tex] \rm B = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ y & 7 & -3 \\ -1 & 3 & y-4 \end{bmatrix}[/tex]. Jika B adalah matriks singular, maka nilai y yang mungkin adalah -20 atau 2.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui :

• [tex] \rm B = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ y & 7 & -3 \\ -1 & 3 & y-4 \end{bmatrix}[/tex]
• Matriks B singular

Ditanya :

Nilai y?

Jawab :

Untuk membuat operasi baris elementer ubah bentuk matriks menjadi segitiga atas atau segitiga bawah. Pada soal ini coba dibuat untuk matriks segitiga atas.

Langkah pertama, baris ke-2 yang baru dibuat dari baris ke-2 dibagi dengan y. Karena di bagi y berarti tulis nilai y di luar matriks :

[tex] \rm \frac{b_2}{y}[/tex]

[tex] \rm \begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ y & 7 & -3 \\ -1 & 3 & y-4 \end{bmatrix} \rightarrow y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 1 & \frac{7}{y} & \frac{-3}{y} \\ -1 & 3 & y-4 \end{bmatrix} [/tex]

Langkah kedua, baris ke-3 yang baru dibuat dari baris ke-3 ditambahkan dengan baris ke-2 :

[tex] \rm b_3 = b_3+b_2[/tex]

[tex] \rm y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 1 & \frac{7}{y} & \frac{-3}{y} \\ -1 & 3 & y-4 \end{bmatrix} \rightarrow y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 1 & \frac{7}{y} & \frac{-3}{y} \\ 0 & \frac{3y+7}{y} & \frac{y^2-4y-3}{y} \end{bmatrix} [/tex]

Langkah ketiga, baris ke-2 yang baru dibuat dari baris ke-2 dikurang dengan satu per lima dari baris pertama :

[tex] \rm b_2 =b_2- \frac{1}{5}b_1[/tex]

[tex] \rm y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 1 & \frac{7}{y} & \frac{-3}{y} \\ 0 & \frac{3y+7}{y} & \frac{y^2-4y-3}{y} \end{bmatrix} \rightarrow y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 0 & \frac{2y+35}{5y} & \frac{-3y-15}{5y} \\ 0 & \frac{3y+7}{y} & \frac{y^2-4y-3}{y} \end{bmatrix} [/tex]

Langkah keempat, kita perlu mengubah baris ke-3 yang barus di baris ke-3 kolom ke-2 menjadi 0 dengan operasi dari baris ke-2. Karena angkanya rumit, kita perlu nencari nilai pengali baris ke-2 menggunakan persamaan sama dengan 0 :

[tex] \rm \frac{3y+7}{y}-(\frac{2y+35}{5y})a = 0[/tex]

[tex] \rm \frac{3y+7}{y}=\frac{2y+35}{5y})a [/tex]

[tex] \rm a = \frac{3y+7}{y}\times \frac{5y}{2y+35}[/tex]

[tex] \rm a = \frac{15y+35}{2y+35}[/tex]

Langkah kelima, baris ke-3 yang baru dibuat dari baris ke-3 dikurang dengan baris ke-2 dikali dengan [tex] \rm (\frac{15y+35}{2y+35})[/tex] :

[tex] \rm b_3 = b_3-b_2(\frac{15y+35}{2y+35})[/tex] :

[tex]\rm y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 0 & \frac{2y+35}{5y} & \frac{-3y-15}{5y} \\ 0 & \frac{3y+7}{y} & \frac{y^2-4y-3}{y} \end{bmatrix} \rightarrow y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 0 & \frac{2y+35}{5y} & \frac{-3y-15}{5y} \\ 0 & 0 & \frac{2y^2-36y-80}{y} \end{bmatrix}[/tex]

Langkah kelima, sudah terbentuk matriks segitiga atas, maka langkah selanjutnya mencari nilai y. Ingat kembali dari soal diketahui bahwa matriks B singular, yang berarti determinannya sama dengan 0. Untuk mencari determinan dari operasi baris elementer, kalikan semua bilangan diluar matriks dengan diagonal utama :

[tex] \rm (y)(5)(\frac{2y+35}{5y})(\frac{2y^2+36y-80}{2y+35})=0[/tex]

[tex] \rm (5y)(\frac{2y+35}{5y})(\frac{2y^2+36y-80}{2y+35})=0[/tex]

[tex] \rm 2y^2+36y-80=0[/tex]

[tex] \rm y^2+18y-40=0[/tex]

[tex] \rm (y+20)(y-2)=0[/tex]

[tex] \rm y = -20[/tex] atau [tex] \rm y = 2[/tex]

Jadi, diperoleh nilai y yang mungkin adalah -20 atau 2.

Pelajari lebih lanjut

Materi Operasi Baris Elementer https://brainly.co.id/tugas/47477962

#SolusiBrainlyCommunity