Question

5. Diberikan grup bilangan bulat Z dan grup bilangan bulat 3Z = (3x|xe Z} di bawah operasi penjumlahan. Untuk setiap a € Z, fungsi f: Z→3Z didefinisikan dengan f(a)=3-3a. Selidiki apakah merupakan suatu isomorfisma grup.​

Answer 1

Untuk menentukan apakah suatu fungsi merupakan isomorfisma grup, kita perlu memeriksa dua hal:

1. Fungsi tersebut harus homomorfisme, yaitu mempertahankan operasi grup. Dalam hal ini, operasi grup adalah penjumlahan.

2. Fungsi tersebut harus bijektif, yaitu setiap elemen di grup kedua memiliki tepat satu preimage di grup pertama.

Diberikan fungsi

[tex]f: Z \rightarrow 3Z[/tex]

yang didefinisikan oleh

[tex]f(a) = 3 - 3a[/tex]

Mari kita periksa apakah fungsi ini memenuhi dua kriteria tersebut:

1. Homomorfisme: Untuk semua

[tex]a, b \in Z[/tex]

kita harus memiliki

[tex]f(a + b) = f(a) + f(b)[/tex]

Jika kita menggantikan

[tex]f(a + b)[/tex]

dengan

[tex]3 - 3(a + b)[/tex]

dan

[tex]f(a) + f(b)[/tex]

dengan

[tex](3 - 3a) + (3 - 3b)[/tex]

kita mendapatkan

[tex]3 - 3a - 3b = 6 - 3a - 3b[/tex]

Jadi fungsi ini adalah homomorfisme.

2. Bijektif: Fungsi ini tidak bijektif. Misalnya, tidak ada elemen

[tex]a \in Z[/tex]

sehingga

[tex]f(a) = 0[/tex]

karena

[tex]3 - 3a = 0[/tex]

hanya jika

[tex]a = 1[/tex]

dan

[tex]1 \notin 3Z[/tex]

Oleh karena itu, fungsi ini tidak bijektif.

Jadi, fungsi

[tex]f(a) = 3 - 3a[/tex]

bukan isomorfisme grup dari

[tex]Z \: ke \: 3Z[/tex]