Question

( 4x^4-2x^3-x):(2x^2 +x-2)

Answer 1

[tex]\huge\boxed{\dfrac{4x^4-2x^2-x}{2x^2+x-2}=\boxed{\bold{\underline{2x^2-2x+3+\dfrac{-8x+6}{2x^2+x-2}}}}}[/tex]

Pisemne dzielenie wielomianów

Aby podzielić dwa wielomiany sposobem pisemnym, należy:

• Podzielić pierwszy wyraz dzielnej przez pierwszy wyraz dzielnika, a wynik zapisać nad dzielną.
• Następnie wynik należy pomnożyć przez każdy wyraz dzielnika, a wynik zapisać pod dzielną w taki sposób, aby wyrazy o takich samych wykładnikach znalazły się w jednej kolumnie
• Odejmujemy od siebie dzielną i wyrażenie zapisane pod nią, a wynik dzielenia zapisujemy pod kreską.
• Postępujemy w ten sposób tak długo, aż pozostałe wyrażenie nie będzie możliwe do podzielenia przez dzielnik, lub nie pozostanie reszta.

Zapisujemy wyrażenie:

[tex]\begin{matrix}&\\\cline{2-8}&(4x^4&-&2x^3&&&-&x)&:&(2x^2+x-2)\end{matrix}[/tex]

1. Dzielimy pierwszy wyraz dzielnej przez pierwszy wyraz dzielnika:
   
   [tex]4x^4:2x^2=\underline{\bold{2x^2}}[/tex]
   
   [tex]\begin{matrix}&\underline{\bold{2x^2}}\\\cline{2-8}&(4x^4&-&2x^3&&&-&x)&:&(2x^2+x-2)\end{matrix}[/tex]
   
2. Mnożymy wynik przez dzielnik i zapisujemy pod dzielną:
   
   [tex]2x^2(2x^2+x-2)=\underline{\bold{4x^4+2x^3-4x^2}}[/tex]
   
   [tex]\begin{matrix}&2x^2\\\cline{2-8}&(4x^4&-&2x^3&&&-&x)&:&(2x^2+x-2)\\-&(\underline{\bold{4x^4}}&\underline{\bold{+}}&\underline{\bold{2x^3}}&\underline{\bold{-}}&\underline{\bold{4x^2)}}\\\cline{1-6}\end{matrix}[/tex]
   
3. Odejmujemy od siebie wyrażenia:
   
   [tex]4x^4-2x^3-x-(4x^4+2x^3-4x^2)=4x^4-2x^3-x-4x^4-2x^3+4x^2=\\\\=\underline{\bold{-4x^3+4x^2-x}}[/tex]
   
   [tex]\begin{matrix}&2x^2\\\cline{2-8}&(4x^4&-&2x^3&&&-&x)&:&(2x^2+x-2)\\-&(4x^4&+&2x^3&-&2x^2)\\\cline{1-6}&&\underline{\bold{-}}&\underline{\bold{4x^3}}&\underline{\bold{+}}&\underline{\bold{4x^2}}&\underline{\bold{-}}&\underline{\bold{x}}\end{matrix}[/tex]
   
4. Dzielimy pierwszy wyraz nowej dzielnej przez pierwszy wyraz dzielnika:
   [tex]-4x^3:2x^2=\underline{\bold{-2x}}[/tex]
   
   [tex]\begin{matrix}&2x^2&\underline{\bold{-}}&\underline{\bold{2x}}\\\cline{2-8}&(4x^4&-&2x^3&&&-&x)&:&(2x^2+x-2)\\-&(4x^4&+&2x^3&-&2x^2)\\\cline{1-6}&&-&4x^3&+&4x^2&-&{x\end{matrix}[/tex]
   
5. Mnożymy wynik przez dzielnik i zapisujemy pod dzielną:
   
   [tex]-2x(2x^2+x-2)=\underline{\bold{-4x^3-2x^2+4x}}[/tex]
   
   [tex]\begin{matrix}&2x^2&-&2x\\\cline{2-8}&(4x^4&-&2x^3&&&-&x)&:&(2x^2+x-2)\\-&(4x^4&+&2x^3&-&2x^2)\\\cline{1-6}&&-&4x^3&+&4x^2&-&x\\&-&(\underline{\bold{-}}&\underline{\bold{4x^3}}&\underline{\bold{-}}&\underline{\bold{2x^2}}&\underline{\bold{+}}&\underline{\bold{4x}})\end{matrix}[/tex]
   
6. Odejmujemy wyrażenia:
   
   [tex]-4x^3+4x^2-x-(-4x^3-2x^2+4x)=-4x^3+4x^2-x+4x^3+2x^2-4x=\\\\=\underline{\bold{6x^2-5x}}[/tex]
   
   [tex]\begin{matrix}&2x^2&-&2x\\\cline{2-8}&(4x^4&-&2x^3&&&-&x)&:&(2x^2+x-2)\\-&(4x^4&+&2x^3&-&2x^2)\\\cline{1-6}&&-&4x^3&+&4x^2&-&x\\&-&(-&4x^3&-&2x^2&+&4x)\\\cline{2-8}&&&&&\underline{\bold{6x^2}}&\underline{\bold{-}}&\underline{\bold{5x}}\end{matrix}[/tex]
   
7. Ponownie dzielimy pierwszy wyraz nowej dzielnej przez pierwszy wyraz dzielnika:
   
   [tex]6x^2:2x^2=\underline{\bold{3}}[/tex]
   
   [tex]\begin{matrix}&2x^2&-&2x&+&\underline{\bold{3}}\\\cline{2-8}&(4x^4&-&2x^3&&&-&x)&:&(2x^2+x-2)\\-&(4x^4&+&2x^3&-&2x^2)\\\cline{1-6}&&-&4x^3&+&4x^2&-&x\\&-&(-&4x^3&-&2x^2&+&4x)\\\cline{2-8}&&&&&6x^2&-&5x\end{matrix}[/tex]
   
8. Mnożymy:
   
   [tex]3(2x^2+x-2)=\underline{\bold{6x^2+3x-6}}[/tex]
   
   [tex]\begin{matrix}&2x^2&-&2x&+&3\\\cline{2-8}&(4x^4&-&2x^3&&&-&x)&:&(2x^2+x-2)\\-&(4x^4&+&2x^3&-&2x^2)\\\cline{1-6}&&-&4x^3&+&4x^2&-&x\\&-&(-&4x^3&-&2x^2&+&4x)\\\cline{2-8}&&&&&6x^2&-&5x\\&&&&-&(\underline{\bold{6x^2}}&\underline{\bold{+}}&\underline{\bold{3x}}&\underline{\bold{-6}})\end{matrix}[/tex]
   
9. Odejmujemy:
   
   [tex]6x^2-5x-(6x^2+3x-6)=6x^2-5x-6x^2-3x+6=\underline{\bold{-8x+6}}[/tex]
   
   [tex]\begin{matrix}&2x^2&-&2x&+&3\\\cline{2-8}&(4x^4&-&2x^3&&&-&x)&:&(2x^2+x-2)\\-&(4x^4&+&2x^3&-&2x^2)\\\cline{1-6}&&-&4x^3&+&4x^2&-&x\\&-&(-&4x^3&-&2x^2&+&4x)\\\cline{2-8}&&&&&6x^2&-&5x\\&&&&-&(6x^2&+&3x&-6)\\\cline{5-9}&&&&&&\underline{\bold{-}}&\underline{\bold{8x}}&\underline{\bold{+6}}\end{matrix}[/tex]
   
   Pozostałe wyrażenie jest resztą z dzielenia. Zapisujemy wynik:
   
   [tex]\dfrac{4x^4-2x^2-x}{2x^2+x-2}=\boxed{\bold{\underline{2x^2-2x+3+\dfrac{-8x+6}{2x^2+x-2}}}}[/tex]