4.126 str. 141
na trójkącie prostokątnym opisana okrąg o promieniu 10. Wiedząc, że wysokość tego trójkąta poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa 8cm, oblicz długości boków tego trójkąta
na trójkącie prostokątnym opisana okrąg o promieniu 10. Wiedząc, że wysokość tego trójkąta poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa 8cm, oblicz długości boków tego trójkąta
Odpowiedź:
R = 10 więc c = 2 R = 20
h = 8
zatem
h² = x*( 20 - x)
8² = 64 = 20 x - x²
x² - 20 x + 64 = 0 Δ = 400 - 4*1*64 = 144 √Δ = 12
x = [tex]\frac{20 - 12}{2} = 4[/tex] lub x = 16
a² = 4² + 8² = 16 + 64 = 80 = 16*5
a = 4√5
===========
b² = 16² + 8² = 256 + 64 = 320 = 64*5
b = 8 √5
===========
Szczegółowe wyjaśnienie:
Odpowiedź:
r - promień opisany na trójkącie = 10 cm
a - jedna przyprostokątna = ?
b - druga przyprostokątna = ?
c - przeciwprostokątna = 2r = 2 * 10 = 20 cm
h - wysokość trójkąta = 8 cm
Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki n i 20 - n
Twierdzenie
W trójkącie prostokątnym kwadrat wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego jest równy iloczynowi długości odcinków, na które ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną.
h² = n(20 - n) = 20n - n² dla n > 0
h² = 20n - n²
n² - 20n + h² = 0
n² - 20n + 8² = 0
n² - 20n + 64 = 0
Δ = (- 20)² - 4 * 1 * 64 = 400 - 256 = 144
√Δ = √144 = 12
n₁ = (20 - 12)/2 = 8/2 = 4
n₂ = (20 + 12)/2 = 32/2 = 16
a = 4 cm , b = 16 cm , c = 20 cm
a² = h² + n₁² = 8² cm² + 4² cm² = 64 cm² + 16 cm² = 80 cm²
a = √80 cm = √(16 * 5) cm = 4√5 cm
b² = h² + n₂² = 8² cm² + 16² cm² = 64 cm² + 256 cm² = 320 cm²
b = √320 cm = √(64 * 5) cm = 8√5 cm
a = 4√5 cm , b = 8√5 cm , c = 20 cm
sprawdzenie
c² = a² + b²
20² = (4√5)² + (8√5)²
400 = 16 * 5 + 64 * 5
400 = 80 + 320
400 = 400
L = P
Odp: boki trójkąta mają długość 4 cm , 16 cm , 20 cm