wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji
a) f(x)= 9/x^2+x^3/6 w przedziale [1/70; 70]
b) f(x)=21/x^2+x^3/6 w przedziale [1/40; 50]
c)f(x)=15/x^2+x^3/6 w przedziale [1/40; 70]
a) f(x)= 9/x^2+x^3/6 w przedziale [1/70; 70]
b) f(x)=21/x^2+x^3/6 w przedziale [1/40; 50]
c)f(x)=15/x^2+x^3/6 w przedziale [1/40; 70]
Odpowiedź:
Pochodna funkcji f(x) wynosi:
f'(x) = -18x^(-3) - x^(-2)
Pochodna ta nie istnieje dla x=0, dlatego musimy zbadać jej zachowanie w pobliżu tego punktu. Obliczamy więc lewą i prawą pochodną:
f'(-0.1) = -13.387
f'(0.1) = -16.424
Z powyższych wyników wynika, że funkcja f(x) ma w punkcie x=0 minimum lokalne. Możemy więc skorzystać z tej informacji i wyznaczyć wartość funkcji w krańcach przedziału oraz w punkcie x=0:
f(1/70) = 3600/49
f(70) = 147/3
f(0) = 0
Największą wartość funkcji f(x) osiąga w punkcie x=0, a wynosi ona 0.
Najmniejszą wartość funkcji f(x) osiąga w punkcie x=70, a wynosi ona 147/3.
b) Podobnie jak w poprzednim przykładzie, wyznaczamy pochodną funkcji:
f'(x) = -42x^(-3) - x^(-2)
Pochodna ta nie istnieje dla x=0, więc musimy zbadać jej zachowanie w pobliżu tego punktu. Obliczamy lewą i prawą pochodną:
f'(-0.1) = -36.247
f'(0.1) = -46.512
Z powyższych wyników wynika, że funkcja f(x) ma w punkcie x=0 minimum lokalne. Możemy więc skorzystać z tej informacji i wyznaczyć wartość funkcji w krańcach przedziału oraz w punkcie x=0:
f(1/40) = 1440/41
f(50) = 21/125
f(0) = 0
Największą wartość funkcji f(x) osiąga w punkcie x=0, a wynosi ona 0.
Najmniejszą wartość funkcji f(x) osiąga w punkcie x=50, a wynosi ona 21/125.
c) Wyznaczamy pochodną funkcji:
f'(x) = -30x^(-3) - x^(-2)
Podobnie jak w poprzednich przypadkach, pochodna ta nie istnieje dla x=0, więc musimy zbadać jej zachowanie w pobliżu tego punktu. Obliczamy lewą i prawą pochodną:
f'(-0.1) = -24.457
f'(0.1) = -33.333