Question

wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji a) f(x)= 9/x^2+x^3/6 w przedziale [1/70; 70] b) f(x)=21/x^2+x^3/6 w przedziale [1/40; 50] c)f(x)=15/x^2+x^3/6 w przedziale [1/40; 70]​

Answer 1

Odpowiedź:

• a) Funkcja f(x) = 9/x^2 + x^3/6 jest ciągła i różniczkowalna w przedziale [1/70, 70]. W celu znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji, obliczamy jej pochodną:

f'(x) = -18/x^3 + x^2/2

• Rozwiązując równanie f'(x) = 0, otrzymujemy punkty, w których pochodna zmienia znak:

-18/x^3 + x^2/2 = 0

x^6 = 36

x = 6^(1/6)

• Wartości funkcji w krańcach przedziału oraz w punktach krańcowych przedziałów (x = 1/70 oraz x = 70) wynoszą:

f(1/70) = 4.0824

f(6^(1/6)) = 6.7561

f(70) = 0.1293

• Największą wartością funkcji jest f(6^(1/6)) ≈ 6.7561, a najmniejszą wartością funkcji jest f(70) ≈ 0.1293.

• b) Funkcja f(x) = 21/x^2 + x^3/6 jest ciągła i różniczkowalna w przedziale [1/40, 50]. W celu znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji, postępujemy analogicznie jak w poprzednim przypadku.

f'(x) = -42/x^3 + x^2/2

-42/x^3 + x^2/2 = 0

x^6 = 84

x = (84)^(1/6)

f(1/40) = 8.75

f((84)^(1/6)) = 15.646

f(50) = 1.92

• Największą wartością funkcji jest f((84)^(1/6)) ≈ 15.646, a najmniejszą wartością funkcji jest f(50) ≈ 1.92.

• c) Funkcja f(x) = 15/x^2 + x^3/6 jest ciągła i różniczkowalna w przedziale [1/40, 70]. Postępujemy analogicznie jak w poprzednich przypadkach.

f'(x) = -30/x^3 + x^2/2

-30/x^3 + x^2/2 = 0

x^6 = 60

x = (60)^(1/6)

f(1/40) = 10.625

f((60)^(1/6)) = 9.156

f(70) = 0.2137

• Największą wartością funkcji jest f(1/40) ≈ 10.625, a najmniejszą wartością funkcji jest f(70) ≈ 0.2137.