Question

4. Uno de los extremos de un segmento rectilineo de longitud igual a 4 es el punto A (4,1); si la ordenada del otro extremo es (-2), halla su abscisa (dos soluciones)​

Answer 1

El punto extremo B tiene a 6.65 y a 1.35 como valores de abscisa (x), por tanto se obtienen los puntos extremos B (6.65,-2) y B (1.35, -2) que satisfacen al ejercicio planteado

Solución

Sabemos que la longitud del segmento es 4 y las coordenadas de uno de sus puntos extremos está dado por el punto A (4,1) y el otro extremo tiene de coordenadas B (x, -2)

Luego debemos obtener el valor de la abscisa del punto extremo B sabiendo que el valor de la ordenada del otro extremo es -2

Empleamos la fórmula de la distancia entre dos puntos para determinar la coordenada desconocida

[tex]\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }[/tex]

Donde conocemos

[tex]\large \textsf{A (4, 1)} \ \ \bold{(x_{1} , y_{1} ) }[/tex]

[tex]\large \textsf{B (x,-2)} \ \ \bold{(x_{2} , y_{2} ) }[/tex]

[tex]\large \textsf{Distancia = Longitud Segmento = 4 }[/tex]

Luego se tiene

[tex]\large\boxed{ \bold { Longitud \ Segmento = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }[/tex]

[tex]\large \textsf{ Sustituimos los valores conocidos en la f\'ormula de la distancia }[/tex]

Donde debemos hallar la coordenada desconocida

[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { 4 = \sqrt{(x- 4 )^{2} +((-2) -1 )^{2} } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { 4 = \sqrt{(x- 4)^{2} +(-2 -1 )^{2} } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { 4 = \sqrt{(x- 4 )^{2} +(-3 )^{2} } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { 4 = \sqrt{(x- 4 )^{2} +9 } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { 4 = \sqrt{x^{2}-8x+16 +9 } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { 4 = \sqrt{x^{2}-8x+25 } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold {( 4)^{2} =\left( \sqrt{x^{2}-8x + 25 }\right )^{2} } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { 16 = x^{2}-8x+25 } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { x^{2}-8x+25 -16 = 0 } }[/tex]

[tex]\large\boxed{ \bold { x^{2}-8x+9 = 0 } }[/tex]

[tex]\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }[/tex]

La cual resolvemos empleando la fórmula cuadrática

[tex]\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}[/tex]

[tex]\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =-8 y c = 9 }[/tex]

[tex]\large\textsf{Para resolver para x y hallar los valores de la coordenada desconocida }[/tex]    

[tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 8 \pm \sqrt{ (-8)^2 - 4\ . \ (1 \ . \ 9) } }{2 \ . \ 1} }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 8 \pm \sqrt{64- 4\ . \ 9 } }{2 } }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 8 \pm \sqrt{64-36 } }{2 } }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 8 \pm \sqrt{28 } }{2 } }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 8 \pm \sqrt{4 \ . \ 7 } }{2 } }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 8 \pm \sqrt{2^{2} \ .\ 7 } }{2 } }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 8 \pm2\sqrt{7} }{2 } }}[/tex]

[tex]\textsf{Simplificamos }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold{x = 4\pm\sqrt{7} }}[/tex]

[tex]\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }[/tex]  

[tex]\textsf{Forma exacta }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold{x = 4+\sqrt{7} ,4-\sqrt{7} }}[/tex]

[tex]\textsf{Forma decimal }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold{x = 6.65,1.35 }}[/tex]

[tex]\large\textsf {Se toman los dos valores de x para la coordenada desconocida }[/tex]

Por tanto hay 2 valores para la abscisa del punto B que son ambas soluciones válidas

Teniendo

[tex]\large\boxed{ \bold{x_{2} = 6.65 \ \ \ \ x_{2} = 1.35 }}[/tex]

Por tanto se obtienen 2 soluciones para el punto extremo B

Obteniendo

[tex]\large \textsf{B (6.65, -2)}[/tex]

[tex]\large \textsf{B (1.35, -2)}[/tex]

Concluyendo que el punto extremo B tiene a 6.65 y a 1.35 como valores de abscisa por tanto se obtienen los puntos extremos B (6.65,-2) y B (1.35, -2)  que satisfacen al ejercicio planteado

Se agrega gráfico para mejor compresión del ejercicio propuesto