Question

4. Suatu persegi panjang kelilingnya 120 meter. a. Jika panjang persegi panjang =x, nyatakan lebarnya dalam x
b. Nyatakan luas persegi panjang dalam x
c. Tentukan luas maksimal persegi panjang
d. Berapakah ukuran lebar persegi panjang agar luasnya maksimal?​

Answer 1

Suatu persegi panjang kelilingnya 120 meter.

• a. Jika panjang persegi panjang = x, maka lebar persegi panjang = 60 – x.
• b. Luas persegi panjang (dalam x): L = –x² + 60x.
• c. Luas maksimal persegi panjang = 900 m².
• d. Lebar persegi panjang agar luasnya maksimal = 30 meter.

 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Aplikasi Persamaan/Fungsi Kuadrat

Suatu persegi panjang kelilingnya 120 meter.

Maka:
K = 120
⇔ 2(p + l) = 120
Kedua ruas dibagi 2.
⇔ p + l = 60.

________________

Soal a.

Panjang persegi panjang = x.
Maka:
x + l = 60
⇔ l = 60 – x
Jadi, lebarnya = 60 – x.
________________

Soal b.

Luas persegi panjang tersebut (dalam x):
L = pl
⇔ L = x(60 – x)
⇔ L = 60x – x²
⇔ L = –x² + 60x

________________

Soal c.

Luas maksimal persegi panjang terjadi ketika fungsi yang menyatakan luasnya, yaitu f(x) = –x² + 60x mencapai nilai puncak.

f(x) = –x² + 60x
⇒ a = –1, b = 60, c = 0

Nilai puncaknya:

[tex]\begin{aligned}y_p&=-\frac{D}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}\\&=-\frac{60^2-4\cdot(-1)\cdot0}{4\cdot(-1)}\\&=-\frac{3600}{-4}\\y_p&=\bf900\end{aligned}[/tex]

Jadi, luas maksimal persegi panjang tersebut adalah 900 m².
________________

Soal d.

Pada fungsi kuadrat, nilai puncak terletak pada sumbu simetri.

Maka, untuk fungsi yang menyatakan luas persegi panjang tersebut, yaitu f(x) = –x² + 60x:

[tex]\begin{aligned}x_p&=x_{\sf simetri}\\&=-\frac{b}{2a}\\&=-\frac{60}{2\cdot(-1)}\\&=-\frac{60}{-2}\\x_p&=\bf30\end{aligned}[/tex]

Oleh karena itu, lebar persegi panjang agar luasnya maksimal adalah:
l = 60 – x = 60 – 30
⇔ l = 30 meter.

Hal ini menunjukkan bahwa luas persegi panjang akan maksimal jika ukuran panjang dan lebarnya sama (menjadi bentuk persegi).