[tex]\huge\boxed{x=\dfrac{\pi+12k\pi}{42}\ \vee\ x=\dfrac{5\pi+12k\pi}{42},\ k\in\mathbb{Z}}[/tex]
[tex]4\sin6x\cos x-2\sin5x=1\qquad|:2\\\\2\sin6x\cos x-\sin5x=\dfrac{1}{2}\\\\2\sin(5x+x)\cos x-\sin5x=\dfrac{1}{2}[/tex]
Korzystamy ze wzoru na sinus sumy katów:
[tex]\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha[/tex]
[tex]2\bigg(\sin5x\cos x+\sin x\cos5x\bigg)\cos x-\sin5x=\dfrac{1}{2}\\\\2\sin5x\cos^2x+2\sin x\cos x\cos5x-\sin5x=\dfrac{1}{2}\\\\2\sin5x\cos^2x-\sin5x+2\sin x\cos x\cos5x=\dfrac{1}{2}[/tex]
Z dwóch pierwszych składników wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. W trzecim składniku skorzystamy ze wzoru na sinus kąta podwojonego:
[tex]\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha[/tex]
[tex]\sin5x\left(2\cos^2x-1\right)+\sin2x\cos5x=\dfrac{1}{2}[/tex]
W nawiasie skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]
[tex]\sin5x\left[2\cos^2x-\left(\sin^2x+\cos^2x\right)\right]+\sin2x\cos5x=\dfrac{1}{2}\\\\\sin5x\left(2\cos^2x-\sin^2x-\cos^2x\right)+\sin2x\cos5x=\dfrac{1}{2}\\\\\sin5x\left(\cos^2x-\sin^2x\right)+\sin2x\cos5x=\dfrac{1}{2}[/tex]
W nawiasie skorzystamy ze wzoru na cosinus kata podwojonego:
[tex]\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha[/tex]
[tex]\sin5x\cos2x+\sin2x\cos5x=\dfrac{1}{2}[/tex]
Lewą stronę równania zwijamy na podstawie wzoru na sinus sumy katów:
[tex]\sin(5x+2x)=\dfrac{1}{2}\\\\\sin7x=\dfrac{1}{2}[/tex]
Otrzymujemy proste równanie trygonometryczne.
Podstawiamy: [tex]7x=\alpha[/tex].
Otrzymując:
[tex]\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ \alpha=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi[/tex]
Wracamy do podstawienia, otrzymując:
[tex]7x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ 7x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\\\\7x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{12k\pi}{6}\ \vee\ 7x=\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{12k\pi}{6}\\\\7x=\dfrac{\pi+12k\pi}{6}\ \vee\ 7x=\dfrac{5\pi+12k\pi}{6}\qquad|:7\\\\\boxed{x=\dfrac{\pi+12k\pi}{42}\ \vee\ x=\dfrac{5\pi+12k\pi}{42},\ k\in\mathbb{Z}}[/tex]
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Równanie trygonometryczne.
[tex]\huge\boxed{x=\dfrac{\pi+12k\pi}{42}\ \vee\ x=\dfrac{5\pi+12k\pi}{42},\ k\in\mathbb{Z}}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
[tex]4\sin6x\cos x-2\sin5x=1\qquad|:2\\\\2\sin6x\cos x-\sin5x=\dfrac{1}{2}\\\\2\sin(5x+x)\cos x-\sin5x=\dfrac{1}{2}[/tex]
Korzystamy ze wzoru na sinus sumy katów:
[tex]\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha[/tex]
[tex]2\bigg(\sin5x\cos x+\sin x\cos5x\bigg)\cos x-\sin5x=\dfrac{1}{2}\\\\2\sin5x\cos^2x+2\sin x\cos x\cos5x-\sin5x=\dfrac{1}{2}\\\\2\sin5x\cos^2x-\sin5x+2\sin x\cos x\cos5x=\dfrac{1}{2}[/tex]
Z dwóch pierwszych składników wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. W trzecim składniku skorzystamy ze wzoru na sinus kąta podwojonego:
[tex]\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha[/tex]
[tex]\sin5x\left(2\cos^2x-1\right)+\sin2x\cos5x=\dfrac{1}{2}[/tex]
W nawiasie skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]
[tex]\sin5x\left[2\cos^2x-\left(\sin^2x+\cos^2x\right)\right]+\sin2x\cos5x=\dfrac{1}{2}\\\\\sin5x\left(2\cos^2x-\sin^2x-\cos^2x\right)+\sin2x\cos5x=\dfrac{1}{2}\\\\\sin5x\left(\cos^2x-\sin^2x\right)+\sin2x\cos5x=\dfrac{1}{2}[/tex]
W nawiasie skorzystamy ze wzoru na cosinus kata podwojonego:
[tex]\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha[/tex]
[tex]\sin5x\cos2x+\sin2x\cos5x=\dfrac{1}{2}[/tex]
Lewą stronę równania zwijamy na podstawie wzoru na sinus sumy katów:
[tex]\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha[/tex]
[tex]\sin(5x+2x)=\dfrac{1}{2}\\\\\sin7x=\dfrac{1}{2}[/tex]
Otrzymujemy proste równanie trygonometryczne.
Podstawiamy: [tex]7x=\alpha[/tex].
Otrzymując:
[tex]\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ \alpha=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi[/tex]
Wracamy do podstawienia, otrzymując:
[tex]7x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ 7x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\\\\7x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{12k\pi}{6}\ \vee\ 7x=\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{12k\pi}{6}\\\\7x=\dfrac{\pi+12k\pi}{6}\ \vee\ 7x=\dfrac{5\pi+12k\pi}{6}\qquad|:7\\\\\boxed{x=\dfrac{\pi+12k\pi}{42}\ \vee\ x=\dfrac{5\pi+12k\pi}{42},\ k\in\mathbb{Z}}[/tex]