Question

wiedzac , że kat alfa jest ostry ,
a sin alfa * cos alfa = 1/4

oblicz (sin alfa - cos alfa) =

prośba o pomoc w rozwiązaniu
to nie jest pytanie egzaminacyjne
prośba o rozwiązanie z opisem jak to się robi​

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

[tex]\sin\alpha-\cos\alpha\in\left\{-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right\}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]\alpha\in(0^\circ,90^\circ)\\\\\sin\alpha*\cos\alpha=\frac{1}{4}[/tex]

Skoro mamy dany iloczyn sinusa i cosinusa, to najłatwiej to policzyć poprzez kwadrat wyrażenia, bo wtedy pojawia się iloczyn.

[tex](\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha[/tex]

Z jedynki trygonometrycznej mamy:

[tex](\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-2\sin\alpha\cos\alpha[/tex]

Po podstawieniu wartości iloczynu mamy:

[tex](\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-2*\frac{1}{4}\\\\(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-\frac{1}{2}\\\\(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\frac{1}{2}[/tex]

Stąd różnica sinusa i cosinusa wynosi:

[tex]\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt{\frac{1}{2}}\quad\vee\quad\sin\alpha-\cos\alpha=-\sqrt{\frac{1}{2}}\\\\\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt2}*\frac{\sqrt2}{\sqrt2}\quad\vee\quad\sin\alpha-\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt2}*\frac{\sqrt2}{\sqrt2}\\\\\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\quad\vee\quad\sin\alpha-\cos\alpha=-\frac{\sqrt2}{2}\\\\\sin\alpha-\cos\alpha\in\left\{-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right\}[/tex]

Różnica sinusa i cosinusa może przyjąć dwie różne wartości (mimo kąta ostrego).