Question

Dla jakich k równanie x^2 + kx + 2k + 9/4 = 0 ma dwa różne rozwiązania, których suma jest mniejsza od 5?

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]k\in(-5,-1)\cup(9,+\infty)[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]x^2 + kx + 2k + \frac{9}{4} = 0\\a=1\qquad b=k\qquad c=2k+\frac{9}{4}[/tex]

Aby równanie kwadratowe miało 2 różne rozwiązania, delta musi być dodatnia, więc

[tex]\Delta=b^2-4ac\\\Delta=k^2-4*1*(2k+\frac{9}{4})=k^2-8k-9\\\Delta > 0\\k^2-8k-9 > 0\\\Delta_k=(-8)^2-4*1*(-9)=64+36=100\\\sqrt{\Delta_k}=10\\k_1=\frac{8-10}{2}=\frac{-2}{2}=-1\\k_2=\frac{8+10}{2}=\frac{18}{2}=9\\\text{Ramionas skierowane do g\'ory, zatem}\\k\in(-\infty,-1)\cup(9,+\infty)[/tex]

Aby sprawdzić, dla jakich k suma rozwiązań jest mniejsza od 5, skorzystamy ze wzorów Viete'a.

[tex]x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1+x_2=-\frac{k}{1}=-k\\x_1+x_2 < 5\\-k < 5\ |:(-1)\\k > -5\\k\in(-5,+\infty)[/tex]

Ostatecznie bierzemy część wspólną obu warunków i otrzymujemy:

[tex]k\in(-5,-1)\cup(9,+\infty)[/tex]