Question

Stosując zasadę indukcji wykazać, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej
prawdziwy jest wzór: 1^3+2^3+3^3+....+n^3=n^2(1+n)^2/4

Answer 1

Dla n = 1 mamy:

1^3 = 1 = 1^2(1+1)^2/4, więc wzór jest spełniony dla n = 1.

Załóżmy teraz, że wzór jest spełniony dla pewnej liczby naturalnej dodatniej k, czyli:

1^3 + 2^3 + ... + k^3 = k^2(1+k)^2/4.

Chcemy pokazać, że wzór jest również spełniony dla k+1. Mamy:

1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = k^2(1+k)^2/4 + (k+1)^3

Rozwińmy teraz drugi składnik:

(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1

Podstawmy to do wzoru:

1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = k^2(1+k)^2/4 + k^3 + 3k^2 + 3k + 1

Możemy teraz uporządkować to równanie:

1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^2 + k + 1)(k^2 + k)/2 + (k+1)^3

1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^4 + 2k^3 + 3k^2 + k)/2 + (k+1)^3

1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1)/2 + (k+1)^3

1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = (k^2 + k + 1)^2/4 + (k+1)^3

Widzimy, że otrzymaliśmy wzór dla k+1, co kończy dowód przez indukcję.