Question

Wyznaczyć dziedzinę, granice na końcach przedziałów określoności, asymptoty, znaleźć ekstrema, zbadać monotoniczność oraz narysować wykres funkcji.
f(x)= 2x^2-5x+2 / 3x^2-10x+3

Answer 1

[tex]f(x)=\frac{2x^2-5x+2}{ 3x^2-10x+3}[/tex]

1) Dziedzina.

[tex]3x^2-10x+3\neq 0\\\\\Delta=(-10)^2-4*3*3=100-36=64\\\\\sqrt\Delta=8\\\\x_1=\frac{10-8}{2*3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\\\\x_2=\frac{10+8}{2*3}=\frac{18}{6}=3\\\\D_f=\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{3},3\right\}[/tex]

2) Granice na końcach przedziałów określoności.

a) Granica w plus nieskończoności.

[tex]\lim_{x \to +\infty} f(x)= \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2-5x+2}{ 3x^2-10x+3}=\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(2-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(3-\frac{10}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}}=\\\\=\lim_{x \to +\infty} \frac{2-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}}{3-\frac{10}{x}+\frac{3}{x^2}}}=\frac{2}{3}[/tex]

b) Granica w minus nieskończoności.

[tex]\lim_{x \to -\infty} f(x)= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2-5x+2}{ 3x^2-10x+3}=\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2\left(2-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(3-\frac{10}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}}=\\\\=\lim_{x \to -\infty} \frac{2-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}}{3-\frac{10}{x}+\frac{3}{x^2}}}=\frac{2}{3}[/tex]

c) Granica w [tex]x=\frac{1}{3}[/tex].

[tex]\lim_{x \to \frac{1}{3}^-} f(x)= \lim_{x \to \frac{1}{3}^-} \frac{2x^2-5x+2}{ 3x^2-10x+3}=\lim_{x \to \frac{1}{3}^-} \frac{2x^2-5x+2}{ 3\left(x-\frac{1}{3}\right)(x-3)}=\\\\=\left[ \frac{2*\left(\frac{1}{3}\right)^2-5*\frac{1}{3}+2}{ 3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3}-3\right)}\right]=\left[ \frac{\frac{2}{9}-\frac{5}{3}+2}{ 3*0^-*\left(-2\frac{2}{3}\right)}\right]=\left[ \frac{\frac{2}{9}-\frac{15}{9}+\frac{18}{9}}{ 0^-*(-8)}\right]=\left[ \frac{\frac{5}{9}}{ 0^-*(-8)}\right]=[/tex]

[tex]=\left[ \frac{5}{9}*(-\infty)*\left(-\frac{1}{8}\right)}\right]=\left[- \frac{5}{72}*(-\infty)}\right]=+\infty[/tex]

[tex]\lim_{x \to \frac{1}{3}^+} f(x)= \lim_{x \to \frac{1}{3}^+} \frac{2x^2-5x+2}{ 3x^2-10x+3}=\lim_{x \to \frac{1}{3}^+} \frac{2x^2-5x+2}{ 3\left(x-\frac{1}{3}\right)(x-3)}=\\\\=\left[ \frac{2*\left(\frac{1}{3}\right)^2-5*\frac{1}{3}+2}{ 3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3}-3\right)}\right]=\left[ \frac{\frac{2}{9}-\frac{5}{3}+2}{ 3*0^+*\left(-2\frac{2}{3}\right)}\right]=\left[ \frac{\frac{2}{9}-\frac{15}{9}+\frac{18}{9}}{ 0^+*(-8)}\right]=\left[ \frac{\frac{5}{9}}{ 0^+*(-8)}\right]=[/tex]

[tex]=\left[ \frac{5}{9}*(+\infty)*\left(-\frac{1}{8}\right)}\right]=\left[- \frac{5}{72}*(+\infty)}\right]=-\infty[/tex]

d) Granica w [tex]x=3[/tex].

[tex]\lim_{x \to 3^-} f(x)= \lim_{x \to 3^-} \frac{2x^2-5x+2}{ 3x^2-10x+3}=\lim_{x \to 3^-} \frac{2x^2-5x+2}{ 3\left(x-\frac{1}{3}\right)(x-3)}=\\\\=\left[ \frac{2*3^2-5*3+2}{ 3\left(3-\frac{1}{3}\right)\left(3-3\right)}\right]=\left[ \frac{18-15+2}{ 3*2\frac{2}{3}*0^-}\right]=\left[ \frac{5}{ 8*0^-}\right]=\left[ \frac{5}{ 8}*(-\infty)\right]=-\infty[/tex]

[tex]\lim_{x \to 3^+} f(x)= \lim_{x \to 3^+} \frac{2x^2-5x+2}{ 3x^2-10x+3}=\lim_{x \to 3^+} \frac{2x^2-5x+2}{ 3\left(x-\frac{1}{3}\right)(x-3)}=\\\\=\left[ \frac{2*3^2-5*3+2}{ 3\left(3-\frac{1}{3}\right)\left(3-3\right)}\right]=\left[ \frac{18-15+2}{ 3*2\frac{2}{3}*0^+}\right]=\left[ \frac{5}{ 8*0^+}\right]=\left[ \frac{5}{ 8}*(+\infty)\right]=+\infty[/tex]

3) Asymptoty.

a) Asymptota pionowa.

Na podstawie granic obliczonych w 2c i 2d wnioskujemy, że są dwie asymptoty pionowe:

[tex]x=\frac{1}{3}\\x=3[/tex]

b) Asymptota pozioma.

Na podstawie granic obliczonych w 2a i 2b wnioskujemy, że jest jedna asymptota pozioma:

[tex]y=\frac{2}{3}[/tex]

c) Asymptota ukośna.

Ponieważ istnieje asymptota pozioma, to nie istnieje asymptota ukośna.

4) Ekstrema.

Policzmy pochodną.

[tex]f'(x)=\frac{(2x^2-5x+2)'(3x^2-10x+3)-(2x^2-5x+2)(3x^2-10x+3)'}{(3x^2-10x+3)^2}=\\\\=\frac{(4x-5)(3x^2-10x+3)-(2x^2-5x+2)(6x-10)}{(3x^2-10x+3)^2}=\\\\=\frac{12x^3-40x^2+12x-15x^2+50x-15-12x^3+20x^2+30x^2-50x-12x+20}{(3x^2-10x+3)^2}=[/tex]

[tex]=\frac{-5x^2+5}{(3x^2-10x+3)^2}[/tex]

Znajdźmy punkty, w których szukać będziemy ekstremów.

[tex]f'(x)=0\\\\\frac{-5x^2+5}{(3x^2-10x+3)^2}=0\ |*(3x^2-10x+3)^2\\\\-5x^2+5=0\ |:(-5)\\\\x^2-1=0\\\\(x-1)(x+1)=0\\\\x-1=0\quad\vee\quad x+1=0\\\\x=1\quad\vee\quad x=-1[/tex]

Sprawdźmy, kiedy pochodna jest dodatnia, a kiedy ujemna.

[tex]f'(x) > 0\\\\\frac{-5x^2+5}{(3x^2-10x+3)^2} > 0\ |*(3x^2-10x+3)^2\\\\-5x^2+5 > 0\ |:(-5)\\\\x^2-1 < 0\\\\(x-1)(x+1) < 0\\\\x\in(-1,1),\quad \text{ale }x\in D_f\Longrightarrow x\in\left(-1,\frac{1}{3}\right)\cup\left(\frac{1}{3},1\right)\\\\f'(x) > 0\Longleftrightarrow x\in\left(-1,\frac{1}{3}\right)\cup\left(\frac{1}{3},1\right)\\\\f'(x) < 0\Longleftrightarrow x\in(-\infty,-1)\cup(1,3)\cup(3,+\infty)[/tex]

Skoro w [tex]x=-1[/tex] pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc dla [tex]x=-1[/tex] jest minimum lokalne wynoszące:

[tex]f_{min}=f(-1)=\frac{2*(-1)^2-5*(-1)+2}{3*(-1)^2-10*(-1)+3}=\frac{2+5+2}{3+10+3}=\frac{9}{16}[/tex]

Skoro w [tex]x=1[/tex] pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc dla [tex]x=1[/tex] jest maksimum lokalne wynoszące:

[tex]f_{max}=f(1)=\frac{2*1^2-5*1+2}{3*1^2-10*1+3}=\frac{2-5+2}{3-10+3}=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}[/tex]

5) Monotoniczność.

Funkcja jest rosnąca w przedziałach, w których pochodna jest dodatnia, a malejąca w przedziałach, w których pochodna jest ujemna. Stąd

[tex]f\nearrow:\left(-1,\frac{1}{3}\right),\ \left(\frac{1}{3},1\right)\\\\f\searrow:(-\infty,-1),\ (1,3),\ (3,+\infty)[/tex]

6) Wykres w załączniku.