Question

Niech x,y będą katami ostrymi. Wiedząc,że

sinx +siny =4/3 oraz cosx+cosy=2pierwiastki z 5 /3

Uzasadnij, że x=y

Answer 1

Odpowiedź:

sin(x) + sin(y) = 4/3

cos(x) + cos(y) = 2√5/3

Jeśli chcemy udowodnić, że x = y, zacznijmy od zauważenia, że mamy równania, w których po lewej stronie występują funkcje trygonometryczne sin(x) i cos(x) oraz sin(y) i cos(y). Możemy wykorzystać to, aby wyeliminować te funkcje. Wykorzystamy identyczność trygonometryczną sin^2(x) + cos^2(x) = 1, co pozwoli nam wyrazić sin(x) i cos(x) za pomocą siebie nawzajem:

Z równania (1):

sin(x) + sin(y) = 4/3

sin(x) = 4/3 - sin(y)

Z równania (2):

cos(x) + cos(y) = 2√5/3

cos(x) = 2√5/3 - cos(y)

Teraz możemy wyrazić sin(y) i cos(y) w podobny sposób:

sin(y) = 4/3 - sin(x)

cos(y) = 2√5/3 - cos(x)

Teraz możemy porównać wyrażenia sin(x) i sin(y), oraz cos(x) i cos(y):

sin(x) = 4/3 - sin(y)

sin(y) = 4/3 - sin(x)

cos(x) = 2√5/3 - cos(y)

cos(y) = 2√5/3 - cos(x)

Jeśli x i y są różne, to musielibyśmy mieć:

sin(x) ≠ 4/3 - sin(x) lub cos(x) ≠ 2√5/3 - cos(x)

Jednak wyrażenia te nie mogą być różne od siebie samego, ponieważ nie ma liczby, która by spełniała taką nierówność (na przykład, sin(x) = 4/3 - sin(x) oznaczałoby 2sin(x) = 4/3, a to nie jest możliwe w przypadku kąta ostrym x).

Stąd wynika, że x = y, co oznacza, że kąty x i y są równe. Ponadto, te równania dotyczą sin(x) i cos(x), które są funkcjami, które mają wartości tylko w zakresie od -1 do 1, co oznacza, że x i y muszą być kątami ostrości.

Szczegółowe wyjaśnienie: