Question

Pytanie: krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 24cm a długość krawędzi bocznej stanowi 9/32 obwodu podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa

Answer 1

Odpowiedź:

a - krawędź podstawy = 24 cm

o - obwód podstawy = 4a = 4 * 24 cm = 96 cm

b - krawędź boczna = o * 9/32 = 96 cm * 9/32 = 3 cm * 9 = 27 cm

d - przekątna podstawy = a√2 = 24√2 cm

H - wysokość ostrosłupa = √[b² - (d/2)²] = √[27² - (12√2)²] cm =

= √(729 - 144 * 2) cm = √(729 - 288) cm = √441 cm = 21 cm

Pp - pole podstawy = a² = 24² cm² = 576 cm²

V - objętość ostrosłupa = 1/3 * Pp * H = 1/3 * 576 cm² * 24 cm =

= 576 cm² * 8 cm = 4608 cm³ = 4,608 dm³

Answer 2

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 24cm

a długość krawędzi bocznej stanowi 9/32 obwodu podstawy.

Jeżeli w nazwie mamy "prawidłowy czworokątny" ostrosłupa lub

graniastosłupa - to   podstawą tego ostrosłupa jest

kwadrat o boku  a = 24 cm

to

Obwód podstawy (kwadratu) = 4 * 24 cm = 96 cm   to

długość krawędzi bocznej  k = 96 * 9/32 = 27 cm

("jak wszystkim wiadomo") przekątna kwadratu o boku  a,

ma długość  p = a√2      to      p =  24√2

[z tw., pitagorasa ale najprościej:  a/p = sin 45º = 1/√2    /* p     to

a = p/√2   /* √2     to    a√2 = p]

Spodek wysokości ostrosłupa  H jest środkiem kwadratu (bo wysokość

H  jest osią symetrii ostrosłupa), dzieli przekątną kwadratu  na połowy,

na    p/2 = 12√2    to   z tw. pitagorasa mamy: H²  + (p/2)² = k²   to

H² + (12√2)² = 27²  to H² + (144 * 2) = 27²   to   H² = 729 - 288 = 441

to   H = √441 = 21 cm   i    a = 24 cm

[bo  działanie odwrotne do pierwiastkowania, potęgowanie:  21² = 441]

Objętość ostrosłupa  V obliczamy z (1/3) iloczynu pola podstawy i

wysokości  H,  

to: Odpowiedź:

Objętość tego ostrosłupa  V = (1/3) * a² * H = (1/3) * 24² * 21 = 4 032 cm³