Boki tego trójkąta mają długości:
|AB| = 8 |BC| = 5 |AC| = 6
W dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równa sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
[tex]\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}\thicklines\put(0,0){\line(1,0){5}}\qbezier(0,0)(2,3)(2,3)\qbezier(5,0)(2,3)(2,3)\put(0.4,1.5){$a$}\put(4,1.5){$b$}\put(2,-.5){$c$}\put(1.9,2.5){$\gamma$}\put(5, 1.5){$\boxed{c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$}\end{picture}[/tex]
Dany jest trójkąt ABC, w którym:
Wnioskujemy więc, że długość boku AB musi być większa od 3.
[tex]\boxed{\bold{|AB| > 3}}[/tex]
Należy zauważyć, że bok leżący na przeciwko wierzchołka A to bok BC.
Układamy równanie korzystając z Twierdzenia Cosinusów:
[tex]|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2-2\cdot |AC|\cdot |AB|\cdot \cos\angle BAC[/tex]
Podstawiamy znane nam wartości i wyrażenia:
[tex](|AB|-3)^2=(|AB|-2)^2+|AB|^2-2\cdot (|AB|-2)\cdot |AB|\cdot\dfrac{25}{32}\\[/tex]
Przypomnijmy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, który zastosujemy do rozwiązania powyższego równania:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Dla poprawy czytelności obliczeń przyjmiemy x=|AB|:
[tex]\begin{array}{lll}(x-3)^2=(x-2)^2+x^2-2\!\!\!\!\diagup^1(x-2)\cdot x\cdot \dfrac{25}{32\!\!\!\!\!\!\diagup_{16}}\\\\\\x^2-6x+9=x^2-4x+4+x^2-(x-2)\cdot \dfrac{25}{16}x\\\\x^2-6x+9=2x^2-4x+4-\left(\dfrac{25}{16}x^2-\dfrac{25}8x\right)\\\\x^2-6x+9=2x^2-4x+4-\dfrac{25}{16}x^2+\dfrac{25}8x\\\\x^2-6x+9-2x^2+4x-4+\dfrac{25}{16}x^2-\dfrac{25}8x=0\\\\\dfrac9{16}x^2-\dfrac{41}8x+5=0&|&\cdot16\\\\9x^2-82x+80=0\\\\(9x-10)(x-8)=0\end{array}[/tex]
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
[tex]\begin{array}{lll}9x-10=0&\vee&x-8=0\\\\9x=10&&\underline{\bold{x=8}}\\\\x=\dfrac{10}9\\\\\underbrace{\bold{x\neq1\dfrac19}}_{|AB| > 3}\end{array}[/tex]
Wówczas |AB|=8.
Obliczamy długości pozostałych boków tego trójkąta:
|BC| = 8 - 3 → |BC| = 5
|AC| = 8 - 2 → |AC| = 6
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2025 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Boki tego trójkąta mają długości:
|AB| = 8
|BC| = 5
|AC| = 6
Twierdzenie Cosinusów
W dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równa sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
[tex]\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}\thicklines\put(0,0){\line(1,0){5}}\qbezier(0,0)(2,3)(2,3)\qbezier(5,0)(2,3)(2,3)\put(0.4,1.5){$a$}\put(4,1.5){$b$}\put(2,-.5){$c$}\put(1.9,2.5){$\gamma$}\put(5, 1.5){$\boxed{c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$}\end{picture}[/tex]
Rozwiązanie:
Dany jest trójkąt ABC, w którym:
[tex]\cos\angle BAC=\dfrac{25}{32}[/tex]
[tex]|BC|=|AB|-3[/tex]
[tex]|AC|=|AB|-2[/tex]
Wnioskujemy więc, że długość boku AB musi być większa od 3.
[tex]\boxed{\bold{|AB| > 3}}[/tex]
Należy zauważyć, że bok leżący na przeciwko wierzchołka A to bok BC.
Układamy równanie korzystając z Twierdzenia Cosinusów:
[tex]|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2-2\cdot |AC|\cdot |AB|\cdot \cos\angle BAC[/tex]
Podstawiamy znane nam wartości i wyrażenia:
[tex](|AB|-3)^2=(|AB|-2)^2+|AB|^2-2\cdot (|AB|-2)\cdot |AB|\cdot\dfrac{25}{32}\\[/tex]
Przypomnijmy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, który zastosujemy do rozwiązania powyższego równania:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Dla poprawy czytelności obliczeń przyjmiemy x=|AB|:
[tex]\begin{array}{lll}(x-3)^2=(x-2)^2+x^2-2\!\!\!\!\diagup^1(x-2)\cdot x\cdot \dfrac{25}{32\!\!\!\!\!\!\diagup_{16}}\\\\\\x^2-6x+9=x^2-4x+4+x^2-(x-2)\cdot \dfrac{25}{16}x\\\\x^2-6x+9=2x^2-4x+4-\left(\dfrac{25}{16}x^2-\dfrac{25}8x\right)\\\\x^2-6x+9=2x^2-4x+4-\dfrac{25}{16}x^2+\dfrac{25}8x\\\\x^2-6x+9-2x^2+4x-4+\dfrac{25}{16}x^2-\dfrac{25}8x=0\\\\\dfrac9{16}x^2-\dfrac{41}8x+5=0&|&\cdot16\\\\9x^2-82x+80=0\\\\(9x-10)(x-8)=0\end{array}[/tex]
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
[tex]\begin{array}{lll}9x-10=0&\vee&x-8=0\\\\9x=10&&\underline{\bold{x=8}}\\\\x=\dfrac{10}9\\\\\underbrace{\bold{x\neq1\dfrac19}}_{|AB| > 3}\end{array}[/tex]
Wówczas |AB|=8.
Obliczamy długości pozostałych boków tego trójkąta:
|BC| = 8 - 3 → |BC| = 5
|AC| = 8 - 2 → |AC| = 6