Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.
Ejemplo
Problema
Completar el cuadrado de para obtener la fórmula cuadrática.
Dividir ambos lados de la ecuación entre a, para que el coeficiente de sea 1
Reescribir de tal forma que el lado izquierdo tenga la forma (aunque en este caso bx es ).
Sumar a ambos lados para completar el cuadrado
Escribir el lado izquierdo como un binomio cuadrado
Evaluar como .
Escribir las fracciones del lado derecho usando un común denominador
Sumar las fracciones de la derecha
Sacar la raíz cuadrada de ambos lados. ¡Recuerda que debes conservar ambas raíces la positiva y la negativa!
Restar de ambos lados para despejar x.
El denominador bajo el radical es un cuadrado perfecto, entonces
.
Restar 6x de cada lado y sumar 16 a ambos lados para transformar la ecuación a su forma .
Aplicar la fórmula cuadrática
Simplificar
Como la raíz cuadrada de 0 es 0, y sumar o restar 0 dan el mismo resultado, existe sólo un valor posible
Solución
x = 4
Esta ecuación cuadrática sólo tiene una solución, por lo que la gráfica de la función tocará el eje x una vez. Tiene una sola raíz.
Algo que debemos notar — la ecuación cuadrática puede ser factorizada como . Entonces, a pesar de que la fórmula cuadrática nos dio la solución, hubiera sido más fácil factorizarla. Vale la pena revisar si la ecuación cuadrática puede ser fácilmente factorizada antes de aplicar la fórmula cuadrática.
Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación .
A) x = 2
B) x =11, x = -9
C) ,
D) ,
Mostrar/Ocultar la Respuesta
El Discriminante
Una ecuación cuadrática puede tener dos raíces, una raíz, o ninguna raíz. En la fórmula cuadrática, la expresión bajo el símbolo radical determina cuántas soluciónes tendrá la fórmula. Esta expresión , , se llama el discriminante de la ecuación .
Pensemos en cómo afectará la evaluación de , y como nos ayuda a determinar el conjunto solución.
· Si , entonces el número debajo del radical será un valor positivo. Siempre podemos calcular la raíz cuadrada de un número positivo, entonces al evaluar la fórmula cuadrática resultarán dos soluciones (una sumando la raíz cuadrada positiva, y la otra restándola).
· Si , entonces estaremos calculando la raíz cuadrada de 0, y el término "±" se deshace de la evaluación de la fórmula cuadrática. (Sumar cero y restar cero nos da el mismo resultado.) Esto será una solución.
· Si , entonces el número debajo del radical será un valor negativo. Como no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo (por lo menos no usando el sistema de números reales), no podemos seguir evaluando la fórmula. Entonces no habrá soluciones.
Ejemplo
Problema
Usar el discriminante para determinar si la ecuación cuadrática tiene dos, una, o ninguna solución.
Evaluar
a = 1, b = -4, y c = 10.
El resultado es un número negativo. El discriminante es negativo, por lo que la ecuación cuadrática no tiene solución.
Solución
no hay solución
Supón que una ecuación cuadrática tiene un discriminante igual a cero. ¿Cuál de las siguientes declaraciones es siempre verdadera?
Mostrar/Ocultar la Respuesta
Sumario
La fórmula cuadrática, , se obtiene al completar el cuadrado de la ecuación cuadrática . La fórmula puede ser usada para encontrar la solución de una ecuación cuadrática e identificar cualquier raíz posible, o las intersecciones en x, de la función.
El discriminante de una fórmula cuadrática es la cantidad debajo del radical , . Determina cuántas soluciones existen para la ecuación cuadrática. Si el discriminante es positivo, hay dos raíces. Si es cero, existe una raíz. Si el discriminante es negativo, no existen raíces.
Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.
Ejemplo
Problema
Completar el cuadrado de para obtener la fórmula cuadrática.
Dividir ambos lados de la ecuación entre a, para que el coeficiente de sea 1
Reescribir de tal forma que el lado izquierdo tenga la forma (aunque en este caso bx es ).
Sumar a ambos lados para completar el cuadrado
Escribir el lado izquierdo como un binomio cuadrado
Evaluar como .
Escribir las fracciones del lado derecho usando un común denominador
Sumar las fracciones de la derecha
Sacar la raíz cuadrada de ambos lados. ¡Recuerda que debes conservar ambas raíces la positiva y la negativa!
Restar de ambos lados para despejar x.
El denominador bajo el radical es un cuadrado perfecto, entonces
.
Restar 6x de cada lado y sumar 16 a ambos lados para transformar la ecuación a su forma .
Aplicar la fórmula cuadrática
Simplificar
Como la raíz cuadrada de 0 es 0, y sumar o restar 0 dan el mismo resultado, existe sólo un valor posible
Solución
x = 4
Esta ecuación cuadrática sólo tiene una solución, por lo que la gráfica de la función tocará el eje x una vez. Tiene una sola raíz.
Algo que debemos notar — la ecuación cuadrática puede ser factorizada como . Entonces, a pesar de que la fórmula cuadrática nos dio la solución, hubiera sido más fácil factorizarla. Vale la pena revisar si la ecuación cuadrática puede ser fácilmente factorizada antes de aplicar la fórmula cuadrática.
Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación .
A) x = 2
B) x =11, x = -9
C) ,
D) ,
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El Discriminante
Una ecuación cuadrática puede tener dos raíces, una raíz, o ninguna raíz. En la fórmula cuadrática, la expresión bajo el símbolo radical determina cuántas soluciónes tendrá la fórmula. Esta expresión , , se llama el discriminante de la ecuación .
Pensemos en cómo afectará la evaluación de , y como nos ayuda a determinar el conjunto solución.
· Si , entonces el número debajo del radical será un valor positivo. Siempre podemos calcular la raíz cuadrada de un número positivo, entonces al evaluar la fórmula cuadrática resultarán dos soluciones (una sumando la raíz cuadrada positiva, y la otra restándola).
· Si , entonces estaremos calculando la raíz cuadrada de 0, y el término "±" se deshace de la evaluación de la fórmula cuadrática. (Sumar cero y restar cero nos da el mismo resultado.) Esto será una solución.
· Si , entonces el número debajo del radical será un valor negativo. Como no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo (por lo menos no usando el sistema de números reales), no podemos seguir evaluando la fórmula. Entonces no habrá soluciones.
Ejemplo
Problema
Usar el discriminante para determinar si la ecuación cuadrática tiene dos, una, o ninguna solución.
Evaluar
a = 1, b = -4, y c = 10.
El resultado es un número negativo. El discriminante es negativo, por lo que la ecuación cuadrática no tiene solución.
Solución
no hay solución
Supón que una ecuación cuadrática tiene un discriminante igual a cero. ¿Cuál de las siguientes declaraciones es siempre verdadera?
Mostrar/Ocultar la Respuesta
Sumario
La fórmula cuadrática, , se obtiene al completar el cuadrado de la ecuación cuadrática . La fórmula puede ser usada para encontrar la solución de una ecuación cuadrática e identificar cualquier raíz posible, o las intersecciones en x, de la función.
El discriminante de una fórmula cuadrática es la cantidad debajo del radical , . Determina cuántas soluciones existen para la ecuación cuadrática. Si el discriminante es positivo, hay dos raíces. Si es cero, existe una raíz. Si el discriminante es negativo, no existen raíces.