Question

Zadanie z szeregów geometrycznych
rozwiąż równanie
proste równanie a jednak wychodzi mi zły wynik, a robiłam z 3 razy :)
ma wyjść: x1=10/3, x2=5​

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]x\in\left\{\frac{25-5\sqrt{19}}{6},\frac{25+5\sqrt{19}}{6}\right\}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]12x+6+\frac{3}{x}+...=100[/tex]

Lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym

[tex]a_1=12x\qquad q=\frac{6}{12x}=\frac{1}{2x}[/tex]

Założenie:

Aby istniała ta suma, musi być spełniony warunek:

[tex]|q| < 1\\\\|\frac{1}{2x}| < 1\\\\\frac{1}{2x} < 1\ \land \ \frac{1}{2x} > -1\\\\\frac{1}{2x}-1 < 0\ \land \ \frac{1}{2x}+1 > 0\\\\\frac{1}{2x}-\frac{2x}{2x} < 0\ \land \ \frac{1}{2x}+\frac{2x}{2x} > 0\\\\\frac{1-2x}{2x} < 0\ \land \ \frac{1+2x}{2x} > 0\\\\2x(1-2x) < 0\ |:(-4)\ \land\ 2x(1+2x) > 0\ |:4\\\\x(x-\frac{1}{2}) > 0\ \land\ x(x+\frac{1}{2}) > 0\\\\x\in(-\infty,0)\cup(\frac{1}{2},+\infty)\ \land\ x\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(0,+\infty)\\\\x\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)[/tex]

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi:

[tex]S=\frac{a_1}{1-q}\\12x+6+\frac{3}{x}+...=\frac{12x}{1-\frac{1}{2x}}=\frac{12x}{\frac{2x}{2x}-\frac{1}{2x}}=\frac{12x}{\frac{2x-1}{2x}}=12x*\frac{2x}{2x-1}=\frac{24x^2}{2x-1}[/tex]

Rozwiążmy równanie:

[tex]12x+6+\frac{3}{x}+...=100\\\\\frac{24x^2}{2x-1}=100\ |*(2x-1)\\\\24x^2=200x-100\\\\24x^2-200x+100=0\ |:4\\\\6x^2-50x+25=0\\\\\Delta=(-50)^2-4*6*25=2500-600=1900\\\\\sqrt\Delta=\sqrt{1900}=\sqrt{100*19}=10\sqrt{19}\\\\x_1=\frac{50-10\sqrt{19}}{12}=\frac{25-5\sqrt{19}}{6}\\\\x_2=\frac{50+10\sqrt{19}}{12}=\frac{25+5\sqrt{19}}{6}\\\\x\in\left\{\frac{25-5\sqrt{19}}{6},\frac{25+5\sqrt{19}}{6}\right\}[/tex]