Question

3. Udowodnij twierdzenie. a) Dla każdej liczby rzeczywistej x liczba x² + 1 jest dodatnia. b) Dla dowolnej liczby rzeczywistej x liczba x² - 4x + 4 jest nieujemna. c) Dla dowolnej liczby rzeczywistej x liczba x² - 2x + 2 jest liczbą dodatnią.​

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

a)

x^2 zawsze będzie liczbą nieujemną, zatem x^2 + 1 jest liczbą >= 1 c.n.w.

b)

x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 >= 0 c.n.w.

c)

x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 >= 1 c.n.w.

Answer 2

a) Zauważmy, że każda liczba rzeczywista (lub wyrażenie)  podniesiona do kwadratu da wynik nieujemny. Dla:

• liczby dodatniej, np. 3² = 9, i zawsze wynik będzie większy od 0
• liczby ujemnej, kwadrat będzie równy kwadratowi przeciwności liczby np. (-5)² = 25 = 5², czyli zawsze będzie nieujemny
• zera 0² = 0, a to liczba nieujemna

a) [tex]x^{2} +1 > 0[/tex] bo [tex]x^{2}[/tex] jest minimalnie równe 0 (dla x=0), a 0 + 1 > 0

b) [tex]x^{2} -4x+4=(x-2)^{2}[/tex]czyli wynik jest nieujemny (dla x=2 wynik nie jest dodatni)

c) [tex]x^{2} -2x+2 = x^{2} -2x+1+1=(x-1)^{2} +1[/tex] , (x-1)² jest nieujemne, i minimalnie równe 0, a 0 + 1 > 0

Mam nadzieję, że pomogłem, doceniłbym naj :)