Question

Wyznacz zbiór wartości funkcji z wyjaśnieniem
f(x) = cos (π/3 sinx)

Answer 1

Analizę rozpoczniemy od najbardziej wewnętrznej funkcji:

[tex]\sin x[/tex]

jest to podstawowa funkcja trygonometryczna. Jest to sinusoida, funkcja ta ma zbiór wartości [tex]\left < -1,1 \right >[/tex].

Patrz rysunek 1.

--------------------------

Kolejną funkcją do rozpatrzenia będzie:
[tex]g\left(x\right)=\cfrac{\pi}{3}\sin x[/tex]

jest to sinus wymnożony przez współczynnik [tex]\frac{\pi}{3}[/tex]. Stąd każda wartość w tej funkcji jest wymnożona przez ten współczynnik. Jest on większy niż 1 [tex]\left(\frac{\pi}3 > 1\right)[/tex] stąd nam funkcja się "rozciągnie" w górę i w dół.

Zbiór wartości to będzie wymnożenie przez ten współczynnik namniejszej i największej wartości podstawowej funkcji.

dla tej funkcji. Zbiór wartości to: [tex]\left < -\cfrac{\pi}{3},\cfrac{\pi}{3}\right >[/tex]

Patrz rysunek 2.

---------------------------

Teraz dochodzimy  do naszej funkcji z pytania czyli:
[tex]f(x)=\cos\left(\frac{\pi}3\sin x\right)[/tex]
zamienię sobie ją na taką postać:
[tex]f\left(x\right)=\cos\left(g\left(x\right)\right)[/tex]
Cosinus tej funkcji przyjmuje za argumenty funkcje g(x) która zawiera tylko liczby z przedziału [tex]\left < -\cfrac{\pi}{3},\cfrac{\pi}{3}\right >[/tex]
dla  [tex]\cos\left(-\frac{\pi}3\right)=\frac12[/tex]

oraz dla [tex]\cos\left(\frac{\pi}3\right)=\frac12[/tex]

na rysunku 3. narysowałem funkcję cosinus. Z pogrubioną linią dla argumentów: [tex]\left < -\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right >[/tex]
Stąd widzimy że dla takie przedziału cosinus przyjmuje jedynie wartości:
[tex]\left < \cfrac12,1\right >[/tex]

Funkcja z pytania wygląda jak na rysunku 4. Ale jest to niepotrzebne wiedzieć do rozwiązania zadania, bo wszystkie powyższe funkcje są ciągłe.

Odp.:

Zbiór wartości tej funkcji mieści się w przedziale: [tex]\left < \cfrac12,1\right >[/tex]