Question

3. Rozwiąż układ równań i podaj jego interpretację geometryczną. fy=x² - 2x + 1 (y=x - 3 c) a) b) fy=-x² + 2x - 1 y = 2x - 3 d) y = 2x² + 8x + 4 y = 4x + 4 y = y = − 2x² − 8x + 4 -2x - 4 7​

Answer 1

a) Rozwiązaniami układu są punkty przecięcia paraboli [tex]y=\frac{1}{2} x^2-2 x+1[/tex] i prostej [tex]y=x-3[/tex]. Rozwiązania to x = 2 oraz x = 4.

b) Rozwiązaniami układu są punkty przecięcia paraboli [tex]y=-\frac{1}{2} x^2+2 x-1[/tex] i prostej [tex]y=2x-3[/tex]. Rozwiązania to [tex]x=2[/tex] oraz [tex]x=-2[/tex].

c) Rozwiązaniami układu są punkty przecięcia paraboli [tex]y=2 x^2+8 x+4[/tex] i prostej [tex]y=4x+4[/tex]. Rozwiązania to [tex]x=-2,x=0[/tex].

d) Rozwiązaniami układu są punkty przecięcia paraboli [tex]y=-2 x^2-8 x+4[/tex] i prostej [tex]y=-2x-4[/tex]. Rozwiązania to [tex]x=-8,x=2[/tex].

Musimy rozwiązać układy równań i znaleźć ich interpretacje geometryczne.

Równania kwadratowe

Równanie [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] ma dwa rozwiązania [tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex] jeżeli [tex]\Delta > 0[/tex], jedno rozwiązanie [tex]x_0=\frac{-b}{2a}[/tex] jeżeli [tex]\Delta=0[/tex], i zero rozwiązań jeżeli [tex]\Delta < 0[/tex], gdzie [tex]\Delta=b^2-4ac[/tex].

Rozwiązujemy układy geometryczne

a) Rozwiązaniami układu są punkty przecięcia paraboli [tex]y=\frac{1}{2} x^2-2 x+1[/tex] i prostej [tex]y=x-3[/tex].

Rozwiązujemy układ. Podstawiamy drugie równanie do pierwszego:

[tex]\frac{1}{2} x^2-2 x+1=x-3[/tex]

[tex]\frac{1}{2}x^2-3x+4=0[/tex]

[tex]x^2-6x+8=0[/tex]

[tex]\Delta=36-4\cdot8 =4=2^2[/tex]

[tex]x_1=\frac{6-2}{2}=2,x_2=\frac{6+2}{2}=4[/tex]

b) Rozwiązaniami układu są punkty przecięcia paraboli [tex]y=-\frac{1}{2} x^2+2 x-1[/tex] i prostej [tex]y=2x-3[/tex].

Rozwiązujemy układ. Podstawiamy drugie równanie do pierwszego:

[tex]-\frac{1}{2} x^2+2 x-1=2x-3[/tex]

[tex]-\frac{1}{2}x^2+2=0[/tex]

[tex]x^2=4[/tex]

[tex]x_1=2,x_2=-2[/tex]

c) Rozwiązaniami układu są punkty przecięcia paraboli [tex]y=2 x^2+8 x+4[/tex] i prostej [tex]y=4x+4[/tex].

Rozwiązujemy układ. Podstawiamy drugie równanie do pierwszego:

[tex]2 x^2+8 x+4=4x+4[/tex]

[tex]2x^2+4x=0[/tex]

[tex]\Delta=4^2-4\cdot0=16=4^2[/tex]

[tex]x_1=\frac{-4-4}{4}=-2,x_2=\frac{-4+4}{4}=0[/tex]

d) Rozwiązaniami układu są punkty przecięcia paraboli [tex]y=-2 x^2-8 x+4[/tex] i prostej [tex]y=-2x-4[/tex].

Rozwiązujemy układ. Podstawiamy drugie równanie do pierwszego:

[tex]-2 x^2-8 x+4=-2x-4[/tex]

[tex]-2x^2-6x+8=0[/tex]

[tex]2x^2+6x-8=0[/tex]

[tex]\Delta=36+4\cdot8\cdot2=100=10^2[/tex]

[tex]x_1=\frac{-6-10}{2}=-8,x_2=\frac{-6+10}{2}=2[/tex]