Question

W graniastoslupie prawidłowym czworokątnym o polu powierzchni bocznej równej 24, tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do plaszczyzny podstawy jest równy 2/3. Oblicz dlugosc krawędzi bocznej tego graniastosłupa

Answer 1

Zacznijmy od wyznaczenia wysokości graniastosłupa.

Wysokość h można obliczyć ze wzoru:
h = P_b / a,

gdzie P_b to pole powierzchni bocznej, a to długość przekątnej podstawy.

W zadaniu wiadomo, że P_b = 24, więc wystarczy obliczyć długość przekątnej podstawy.

Wiemy, że tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 2/3.

Tangens kąta nachylenia definiujemy jako stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej. W naszym przypadku przeciwprostokątną jest krawędź boczna, a przyprostokątną jest połowa przekątnej podstawy, czyli a/2.

Stąd mamy:

tanα = krawędź boczna / (a/2) = 2/3

krawędź boczna = (2/3) * (a/2)

Teraz podstawiamy to równanie do wzoru na pole powierzchni bocznej, aby wyznaczyć wartość a:

P_b = (a/2) * sqrt(a^2 + 4h^2) = 24

Podstawiając wyznaczone wcześniej h, mamy:

(a/2) * sqrt(a^2 + 4h^2) = 24

(a/2) * sqrt(a^2 + 4(24/a)^2) = 24

a * sqrt(a^2 + 576/a^2) = 96

a^3 + 576 = 2304

a^3 = 1728

a = 12

Teraz, podstawiając wartość a do wzoru na krawędź boczną, mamy:

krawędź boczna = (2/3) * (a/2) = (2/3) * 6 = 4

Dlugość krawędzi bocznej tego graniastosłupa wynosi 4.