W graniastoslupie prawidłowym czworokątnym o polu powierzchni bocznej równej 24, tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do plaszczyzny podstawy jest równy 2/3. Oblicz dlugosc krawędzi bocznej tego graniastosłupa
oparahubert
Zacznijmy od wyznaczenia wysokości graniastosłupa.
Wysokość h można obliczyć ze wzoru: h = P_b / a,
gdzie P_b to pole powierzchni bocznej, a to długość przekątnej podstawy.
W zadaniu wiadomo, że P_b = 24, więc wystarczy obliczyć długość przekątnej podstawy.
Wiemy, że tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 2/3.
Tangens kąta nachylenia definiujemy jako stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej. W naszym przypadku przeciwprostokątną jest krawędź boczna, a przyprostokątną jest połowa przekątnej podstawy, czyli a/2.
Stąd mamy:
tanα = krawędź boczna / (a/2) = 2/3
krawędź boczna = (2/3) * (a/2)
Teraz podstawiamy to równanie do wzoru na pole powierzchni bocznej, aby wyznaczyć wartość a:
P_b = (a/2) * sqrt(a^2 + 4h^2) = 24
Podstawiając wyznaczone wcześniej h, mamy:
(a/2) * sqrt(a^2 + 4h^2) = 24
(a/2) * sqrt(a^2 + 4(24/a)^2) = 24
a * sqrt(a^2 + 576/a^2) = 96
a^3 + 576 = 2304
a^3 = 1728
a = 12
Teraz, podstawiając wartość a do wzoru na krawędź boczną, mamy:
krawędź boczna = (2/3) * (a/2) = (2/3) * 6 = 4
Dlugość krawędzi bocznej tego graniastosłupa wynosi 4.
Wysokość h można obliczyć ze wzoru:
h = P_b / a,
gdzie P_b to pole powierzchni bocznej, a to długość przekątnej podstawy.
W zadaniu wiadomo, że P_b = 24, więc wystarczy obliczyć długość przekątnej podstawy.
Wiemy, że tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 2/3.
Tangens kąta nachylenia definiujemy jako stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej. W naszym przypadku przeciwprostokątną jest krawędź boczna, a przyprostokątną jest połowa przekątnej podstawy, czyli a/2.
Stąd mamy:
tanα = krawędź boczna / (a/2) = 2/3
krawędź boczna = (2/3) * (a/2)
Teraz podstawiamy to równanie do wzoru na pole powierzchni bocznej, aby wyznaczyć wartość a:
P_b = (a/2) * sqrt(a^2 + 4h^2) = 24
Podstawiając wyznaczone wcześniej h, mamy:
(a/2) * sqrt(a^2 + 4h^2) = 24
(a/2) * sqrt(a^2 + 4(24/a)^2) = 24
a * sqrt(a^2 + 576/a^2) = 96
a^3 + 576 = 2304
a^3 = 1728
a = 12
Teraz, podstawiając wartość a do wzoru na krawędź boczną, mamy:
krawędź boczna = (2/3) * (a/2) = (2/3) * 6 = 4
Dlugość krawędzi bocznej tego graniastosłupa wynosi 4.