QuizJika luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = √x, sumbu x, dan y = (x - a)/(1

farahashari

a = 3/2

Penjelasan dengan langkah-langkah:

$\:$

Syarat

x2 > x1

a > 1

$\:$

Absis Perpotongan sumbu x dan y = (x - a)/(1 - a)

y = y

0 = (x - a)/(1 - a)

0 = x-a

x = a

$\:$

x2 = a

$\:$

Absis perpotongan y=√x dan y = (x - a)/(1 - a)

y = y

√x = (x - a)/(1 - a)

x = (x-a)²/(1-a)²

x = (x²-2ax+a²)/(1-2a+a²)

x(1-2a+a²) = x²-2ax+a²

x-2ax+a²x = x²-2ax+a²

x+a²x= x²+a²

0 = x²-(1+a²)x+a²

0 = (x-1)(x-a²)

x-1 = 0

x = 1 (memenuhi)

x-a² = 0

x = a² (tidak memenuhi)

$\:$

x1 = 1

$\:$

Luas = a² - 4/3

$\int _{0}^{x_1}$ (√x) dx + $\int _{x_1}^{x_2}$ (x - a)/(1 - a) dx = a² - 4/3

$\int _{0}^{1}$ (√x) dx + $\int _{1}^{\sf a}$ (x - a)/(1 - a) dx = a² - 4/3

⅔.x^(3/2) $]^{1}_{0}$ + (½x²-ax)/(1 - a) $]^{\sf a}_{1}$ = a² - 4/3

⅔.1^(3/2) + (½a²- a.a)/(1 - a) - (½.1²- a.1)/(1 - a) = a² - 4/3

⅔.√1 + (½a²- a²)/(1 - a) - (½- a)/(1 - a) = a² - 4/3

⅔ + (-½a²-½+a)/(1 - a) = a² - 4/3

(-½a² + a - ½)/(1 - a) = a² - 4/3 - ⅔

2(-½a² + a - ½)/(1 - a) = 2(a² - 2)

(-a² + 2a -1)/(1-a) = 2a² - 4

(1-a)(a-1)/(1-a) = 2a² - 4

(a-1) = 2a² - 4

0 = 2a² - a + 1 - 4

0 = 2a² - a - 3

0 = (2a - 3)(a + 1)

a = 3/2 (memenuhi)

a = -1 (tidak memenuhi)

$\:$

Kesimpulan:

Nilai a yang memenuhi adalah a = 3/2

2 votes Thanks 2

henriyulianto

$a=\bf\dfrac{3}{2}$

Pembahasan

Luas Daerah dengan Integral

Kurva $f(x)=y=\sqrt{x}$ selalu berada pada kuadran I. Titik potong dengan sumbu y dan sekaligus sumbu x adalah (0, 0).

Sedangkan garis $g(x)=y=\dfrac{x-a}{1-a}$ dengan $a > 1$ , akan memotong kurva $f(x)$ di titik (1, 1), karena:

$\begin{aligned}&y=\sqrt{x}\ \Rightarrow\ x=y^2\\&\Rightarrow y=\frac{y^2-a}{1-a}\\&\Rightarrow y^2-a=(1-a)y\\&\Rightarrow y^2-(1-a)y=a\\&\Rightarrow y^2+(a-1)y=a\\&\Rightarrow y^2+(a-1)y+\frac{(a-1)^2}{4}=a+\frac{(a-1)^2}{4}\\&\Rightarrow\left(y+\frac{a-1}{2}\right)^2=\frac{4a+(a-1)^2}{4}\\&\Rightarrow\left(y+\frac{a-1}{2}\right)^2=\frac{(a+1)^2}{4}\\&\Rightarrow y+\frac{a-1}{2}=\pm\frac{a-1}{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\Rightarrow y=-\frac{a-1}{2}+\frac{a+1}{2}\,,\ y=-\frac{a-1}{2}-\frac{a+1}{2}\\&\Rightarrow y=\frac{-a+1+a+1}{2}\,,\ y=\frac{-a+1-a-1}{2}\\&\Rightarrow y=1\,,\ y=-a\end{aligned}$

$y=-a$ tidak memenuhi, karena $a > 1$ , juga karena titik minimum $y=\sqrt{x}$ adalah (0, 0).

Oleh karena itu, daerah pertama yang dihitung luasnya adalah daerah antara kurva $f(x)$ dan sumbu-x, dengan batas bawah $x_1=\bf0$ dan batas atas $x_2=\bf1$ .

Di sebelah kanan daerah pertama ini, ada daerah kedua yang dibatasi garis $g(x)$ dan sumbu-x. Karena $1-a < 0$ , maka gradien garis ini negatif, sehingga batas ketiga dari daerah yang dihitung adalah pada saat garis memotong sumbu-x, yaitu pada saat $y = 0$ .

$\begin{aligned}&0=\frac{x-a}{1-a}\,,\ a > 1\\&\Rightarrow x-a=0\\&\Rightarrow x=a\end{aligned}$

Sekarang, kita sudah peroleh batas-batas daerah kedua, yaitu $x_2=\bf1$ dan $x_3=\bf a$ .

Dengan batas-batas ini, luas daerah yang dievaluasi adalah:

$\begin{aligned}L&=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx+\int_{x_2}^{x_3}g(x)dx\\&=\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx+\int_{1}^{a}\frac{x-a}{1-a}\,dx\\&=\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx+\left(\frac{1}{1-a}\right)\int_{1}^{a}(x-a)\,dx\\&=\left[\frac{2x\sqrt{x}}{3}\right]_{0}^{1}+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left [\frac{x^2}{2}-ax\right]_{1}^{a}\\&=\frac{2}{3}\left(1\sqrt{1}-0\right)+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left(\frac{a^2}{2}-a^2-\left(\frac{1^2}{2}-a\right)\right)\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left(\frac{a^2-2a^2-1+2a}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left(\frac{-a^2+2a-1}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left(\frac{(-1)\left(a^2-2a+1\right)}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{(-1)(1-a)}\right)\left(\frac{(a-1)^2}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{a-1}\right)\left(\frac{(a-1)^2}{2}\right)\\L&=\boxed{\ \frac{2}{3}+\frac{a-1}{2}\ }\end{aligned}$

Diketahui bahwa luas daerah yang dievaluasi adalah $a^2-\dfrac{4}{3}$ .

Maka:

$\begin{aligned}&a^2-\dfrac{4}{3}=\frac{2}{3}+\frac{a-1}{2}\\&\Rightarrow a^2=\frac{2+4}{3}+\frac{a-1}{2}\\&\Rightarrow a^2=2+\frac{a-1}{2}\\&\Rightarrow2a^2=4+a-1\\&\Rightarrow2a^2=a+3\\&\Rightarrow2a^2-a-3=0\\&\Rightarrow(2a-3)(a+1)=0\\&\Rightarrow a=\frac{3}{2}\,,\ a=-1\end{aligned}$