La suma de los cuatro términos de una proporción geometría es 65; si cada uno de los términos es 2/3.... Question from @melaniecisneros

November 2018 1 703 Report

La suma de los cuatro términos de una proporción geometría es 65; si cada uno de los términos es 2/3 del precedente,¿cual es el ultimo termino?

preju No es una proporción sino una progresión GEOMÉTRICA (PG)

Identifico primero los datos que nos dan.

Razón ... r = 2/3
(número por el que se multiplica cada término para obtener el siguiente)

Nº de términos de la PG ... n = 4

Suma de los 4 términos... $S_n=65$
Y nos piden el cuarto término a₄

Se plantea un sistema de ecuaciones basado en la fórmula del término general y de la suma de términos.

Término general de una PG
$a_n=a_1* r^{n-1} \ \ \ sustituyendo\ los\ datos\ conocidos... \\ \\ a_4=a_1* ( \frac{2}{3} )^{4-1} \\ \\ a_4=a_1* \frac{8}{27} \\ \\ a_1= \frac{27a_4}{8}$
Ahí queda a₁ despejado.

Voy a por la otra ecuación basada en la fórmula de la suma de términos de cualquier PG.
$S_n= \frac{a_n*r\ -a_1}{r-1} \ \ \ sustituyo\ los\ datos\ conocidos... \\ \\ 65= \frac{a_4*( \frac{2}{3} )\ -a_1}{ \frac{2}{3}-1 } \\ \\ 65= \frac{ \frac{2a_4}{3} \ -a_1}{ -\frac{1}{3} } \\ \\ -\frac{65}{3} = \frac{2a_4-3a_1}{3} \\ \\ -65=2a_4-3a_1 \\ \\ 3a_1=2a_4+65 \\ \\ a_1= \frac{2a_4+65}{3}$

Ahí te queda también despejada a₁ en esta segunda ecuación y con el sistema de ecuaciones planteado sólo queda resolver por el método de igualación para obtener el valor de a₄ que es lo que pide el ejercicio.

Saludos.