Question

Un problemas de derivadas...: Sea f la funcion definida por f(x)=ax³+bx²+cx+d, a≠0. Encuentre las constantes reales a,b,c,y d sabiendo que la grafica de f satisface las siguientes condiciones: en el origen de coordenadas la recta tangente forma un angulo de π/3 con el semieje positivo de las x y admite recta paralela al eje x en los puntos de abscisas x=1 y x=-1.

Answer 1

Por pasar por el orígen de coordenadas, el valor de "x" es cero y el de "y" también. Reemplazamos estos valores en la función:

con x= 0 e y=0:
      ----->

Ahora, la tangente es la pendiente de la curva en ese punto, y equivale a la derivada de la función:
, en donde

Como dice que en los puntos  de abscisas x=1 y x=-1 es una recta paralela al eje "x", esto quiere decir que es horizontal, la pendiente toma un valor de cero. En otras palabras:

para x=1 y también para x=-1

Reemplazamos dichos valores para ambos casos:

***** para x = 1:

      Expresión 1.

***** para x = -1:

       Expresión 2.

Al sumar ambas expresiones: Expresión 1 + Expresión 2, nos queda:

    ---> Dividiendo esta ecuación para 2, nos queda:
        Expresión 3.

Ahora, sabiendo que ; Ello quiere decir que, cuando la curva pasa por el orígen,  donde es la pendiente de la recta tangente a la curva en el origen, entonces:
,
de donde: ------>

Reemplazando "c" en la Expresión 3, tenemos:
;  Despejando "a": ----> 

reemplazamos estos dos valores para hallar el valor de "b" en cualquiera de las dos expresiones (1 o 2):
Reemplazando en la expresión 1:



; Despejando "b":  ----->

En resumen: