Un problemas de derivadas...: Sea f la funcion definida por f(x)=ax³+bx²+cx+d, a≠0. Encuentre las co.... Question from @Lennyze

August 2018 1 59 Report

Un problemas de derivadas...: Sea f la funcion definida por f(x)=ax³+bx²+cx+d, a≠0. Encuentre las constantes reales a,b,c,y d sabiendo que la grafica de f satisface las siguientes condiciones: en el origen de coordenadas la recta tangente forma un angulo de π/3 con el semieje positivo de las x y admite recta paralela al eje x en los puntos de abscisas x=1 y x=-1.

Johan2mz Por pasar por el orígen de coordenadas, el valor de "x" es cero y el de "y" también. Reemplazamos estos valores en la función:

$f(x) = y=a x^{3}+b x^{2} +cx+d$ con x= 0 e y=0:
$0=a (0)^{3} +b (0)^{2} +c(0)+d$ -----> $d=0$

Ahora, la tangente es la pendiente de la curva en ese punto, y equivale a la derivada de la función:
$f'(x)=3a x^{2} +2bx+c$ , en donde $f'(x)=m$

Como dice que en los puntos de abscisas x=1 y x=-1 es una recta paralela al eje "x", esto quiere decir que es horizontal, la pendiente toma un valor de cero. En otras palabras:

$f'(x)=0$ para x=1 y también para x=-1

Reemplazamos dichos valores para ambos casos:

***** para x = 1:
$0=3a (1)^{2}+2b(1)+c$
$0=3a+2b+c$ Expresión 1.

***** para x = -1:
$0=3a (-1)^{2} +2b(-1)+c$
$0=3a-2b+c$ Expresión 2.

Al sumar ambas expresiones: Expresión 1 + Expresión 2, nos queda:
$0+0=3a+2b+c+3a-2b+c$
$0=6a+2c$ ---> Dividiendo esta ecuación para 2, nos queda:
$0=3a+c$ Expresión 3.

Ahora, sabiendo que $tan ( \frac{ \pi }{3} )= \sqrt{3}$ ; Ello quiere decir que, cuando la curva pasa por el orígen, $x=0, m=f'(x)= \sqrt{3}$ donde $\sqrt{3}$ es la pendiente de la recta tangente a la curva en el origen, entonces:
$\sqrt{3}=3a (0)^{2}+2b(0)+c$ ,
de donde: ------> $c= \sqrt{3}$

Reemplazando "c" en la Expresión 3, tenemos:
$0=3a+ \sqrt{3}$ ; Despejando "a": ----> $a=- \frac{ \sqrt{3} }{3}$

reemplazamos estos dos valores para hallar el valor de "b" en cualquiera de las dos expresiones (1 o 2):
Reemplazando en la expresión 1:

$0=3a+2b+c$
$0=3(- \frac{ \sqrt{3} }{3} )+2b+ \sqrt{3}$
$0=- \sqrt{3}+2b+ \sqrt{3}$ ; Despejando "b": -----> $b=0$

En resumen:
$a=- \frac{ \sqrt{3} }{3}$
$b=0$
$c= \sqrt{3}$
$d=0$

Johan2mz Me alegro. Gracias. No olvides presionar en el botón porfa :D

Johan2mz ja ja.. cierto. Te confundí, perdón. Sí, estoy en tercer año.

Johan2mz Gracias! aunque en tu caso no era necesario dado que tú no posteaste la pregunta, pero gracias.

Lennyze :D En realidad ya lo habia hecho al ejercicio antes de preguntar, creyendo que no estaba bien la respuesta busque ayuda aqui. Yo lo resolvi casi de la misma manera, y los resultados que obtuve fueron los mismos. Así que tu respuesta me sirvió para comprobar que tan mal no hago las cosas XD. Así que gracias!

Johan2mz Ok. Me alegra que te haya servido de alguna manera.