Question

1. Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego (an) spełniającego poniższe warunki, który wyraz tego ciągu jest równy 0?

a) a1+a3=0
a2+a4=-8

b) a1+a4=12
a2+a4+a6=27

c) a1 x a2=5
a1+a3=-4

To w klamrze oczywiście ^

2. Dla jakiś wartości X podane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego? Podaj różnicę tego ciągu.

a) x+1, 4x-1, 3x+5

b) -x, 3x+1, -6-x

c) x+3, x^2, 4x

d) x^2 + 2, (x+1)^2, 4x^2+1

3. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego
a) a2=-7 a8=11

b) a9=60 a21=0

c) a4= 1 2/3 a11=4

Answer 1

Odpowiedź:

1.

a)

a₁ + a₃ = 0

a₂ + a₄ = - 8

a₁ + a₁ + 2r = 0

a₁ + r + a₁ + 3r = - 8

2a₁ + 2r = 0 ⇒ 2a₁ = - 2r

2a₁ + 4r = - 8

- 2r + 4r = - 8

2r = - 8

r = - 8/2 = - 4

2a₁ = - 2r = - 2 * ( - 4) = 8

a₁ = 8/2 = 4

an = a₁ + (n - 1) * r = 4 + (n - 1) * ( - 4) = 4 - 4n + 4 = - 4n + 8

b)

a₁ + a₄ = 12

a₂ + a₄ + a₆ = 27

a₁ + a₁ + 3r = 12

a₁ + r + a₁ + 3r + a₁ + 5r = 27

2a₁ + 3r = 12

3a₁ + 9r = 27 | : 3

2a₁ + 3r = 12

a₁ + 3r = 9

Odejmujemy równania

2a₁ - a₁ + 3r - 3r = 12 - 9

a₁ = 3

a₁ + 3r = 9

3 + 3r = 9

3r = 9 - 3 = 6

r = 6/3 = 2

an = a₁ + (n - 1) * r = 9 + (n - 1) * 2 = 9 + 2n - 2 = 2n + 7

c)

a₁ * a₂ = 5

a₁ + a₃ = - 4

a₁(a₁ + r) = 5

a₁ + a₁ + 2r = - 4

a₁² + a₁r = 5

2a₁ + 2r = - 4 | : 2

a₁² + a₁r = 5

a₁ + r = - 2 ⇒ a₁ = 5 - a₁r

(5 - a₁r)² + a₁r = 5

25 - 10a₁r + a₁²r² + a₁r = 5

(a₁r)² - 9a₁r + 25 - 5 = 0

za a₁r wstawiamy z

z² - 9z + 20 = 0

Δ = (- 9)² - 4 * 1 * 20 = 81 - 80 = 1

√Δ = √1 = 1

z₁ = ( 9 - 1)/2 = 8/2 = 4

z₂ = (9 + 1)/2 = 10/2 = 5

a₁r₁ = 4 ∨ a₁r₁ = 5

dla a₁r = 4

a₁ + a₁r = 5

a₁ + 4 = 5

a₁ = 5 - 4 = 1

dla a₁r = 5

a₁ + a₁r = 5

a₁ + 5 = 5

a₁ = 5 - 5 = 0

Dla a₁ = 1

a₁r₁ = 4

r₁ = 4

Dla a₁ = 0

a₁r = 5

0 * r = 5

0 ≠ 5 równanie sprzeczne , więc :

a₁ = 1 , r = 4

an = a₁ + (n - 1) * r = 1 + (n - 1) * 4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3

2.

a)

a₁ = x + 1

a₂ = 4x - 1

a₃ = 3x + 5

a₃ - a₂ = a₂ - a₁

3x + 5 - 4x + 1 = 4x - 1 - x - 1

- x + 6 = 3x - 2

- x - 3x = - 2 - 6

- 4x = - 8

4x = 8

x = 8/4 = 2

b)

a₁ = - x

a₂ = 3x + 1

a₃ = - 6 - x

a₃ - a₂ = a₂ - a₁

- 6 - x - 3x - 1 = 3x + 1 + x

- 4x - 7 = 4x + 1

- 4x - 4x = 1 + 7

- 8x = 8

8x = - 8

x = - 8/8 = - 1

c)

a₁ = x + 2

a₂ = x²

a₃ = 4x

a₃ - a₂ = a₂ - a₁

4x - x² = x² - x - 3

- x² - x² + 4x + x + 3 = 0

- 2x² + 5x + 3 = 0

a = - 2 , b = 5 , c = 3

Δ = b² - 4ac = 5² - 4 * (- 2) * 3 = 25 + 24 = 49

√Δ = √49 = 7

x₁ = ( - b - √Δ)/2a = (- 5 - 7)/(- 4) = - 12/(- 4) = 3

x₂ = ( - b + √Δ)/2a = ( - 5 + 7)/(- 4) = - 2/4 = - 1/2

d)

a₁ = x² + 2

a₂ = (x + 1)²

a₃ = 4x₂ + 1

a₃ - a₂ = a₂ - a₁

4x² + 1 - (x + 1)² = (x + 1)² - x² - 2

4x² + 1 - (x² + 2x + 1) = x² + 2x + 1 - x² - 2

4x² + 1 - x² - 2x - 1 = 2x - 1

3x² - 2x = 2x - 1

3x² - 2x - 2x + 1 = 0

3x² - 4x + 1 = 0

a = 3 , b = - 4 , c = 1

Δ = b² - 4ac = (- 4)² - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4

√Δ = √4 = 2

x₁ = ( - b - √Δ)/2a = ( 4 - 2)/6 = 2/6 = 1/3

x₂ = (- b + √Δ)/2a = (4 + 2)/6 = 6/6 = 1

3.

a)

a₂ = a₁ + r = - 7

a₈ = a₁ + 7r = 11

a₁ + r = - 7

a₁ + 7r = 11

odejmujemy równania

a₁ - a₁ + r - 7r = - 7 - 11

- 6r = - 18

6r = 18

r = 18/6 = 3

a₁ + r = - 7

a₁ + 3 = - 7

a₁ = - 7 - 3 = - 10

b)

a₉ = a₁ + 8r = 60

a₂₁ = a₁ + 20r = 0

a₁ + 8r = 60

a₁ + 20r = 0

odejmujemy równania

a₁ - a₁ + 8r - 20r = 60 - 0

- 12r = 60

12r = - 60

r = - 60/12 = - 5

a₁ + 20r = 0

a₁ + 20 * ( - 5) = 0

a₁ - 100 = 0

a₁ = 100

c)

a₄ = a₁ + 3r = 1 2/3

a₁₁ = a₁ + 10r = 4

a₁+ 3r = 1 2/3

a₁ + 10r = 4

odejmujemy równania

a₁ - a₁ + 3r - 10r = 1 2/3 - 4

- 7r = 1 2/3 - 3 3/3 = - 2 1/3

7r = 2 1/3

r = 2 1/3 : 7 = 7/3 * 1/7 = 1/3

a₁ + 10r = 4

a₁ + 10 * 1/3 = 4

a₁ + 10/3 = 4

a₁ = 4 : 10/3 = 4 * 3/10 = 12/10 = 1 2/10 = 1 1/5