Question

Escoja la opción que tiene únicamente números Racionales; * 2, 3, 4, 4/5, 7, -3, -1/3 1/0, 3/2, 3/4, 7, 2, 3 0/3 , 4, -7/0, 5/4, 2/3 ​

Answer 1

Respuesta:

Relaciones de equivalencia y orden

Inmersión de enteros

Cualquier entero n se puede expresar como el número racional n/1 debido a eso se escribe frecuentemente {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} } (técnicamente, se dice que los racionales contienen un subanillo isomorfo al anillo de los números enteros).

Equivalencia

Si se cumple:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\quad \longleftrightarrow \quad ad=bc}{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\quad \longleftrightarrow \quad ad=bc}

Orden

Cuando ambos denominadores son positivos:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}\quad \longleftrightarrow \quad ad<bc}{\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}\quad \longleftrightarrow \quad ad<bc}

Si cualquiera de los denominadores es negativo, las fracciones primero deben convertirse en otras equivalentes con denominadores positivos, siguiendo las ecuaciones:

{\displaystyle {\frac {-a}{-b}}={\frac {a}{b}}}{\displaystyle {\frac {-a}{-b}}={\frac {a}{b}}}

y

{\displaystyle {\frac {a}{-b}}={\frac {-a}{b}}}{\displaystyle {\frac {a}{-b}}={\frac {-a}{b}}}

Operaciones Racionales

A las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se las llama operaciones racionales.9​

Suma

Se define la suma o adición de dos números racionales a la operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su suma:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\cfrac {ad}{bd}}+{\cfrac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}}{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\cfrac {ad}{bd}}+{\cfrac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}}

Resta

La operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su diferencia se llama resta o diferencia y se la considera operación inversa de la suma.9​

{\displaystyle {\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}+\left(-{\frac {a}{b}}\right)}{\displaystyle {\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}+\left(-{\frac {a}{b}}\right)}.

Multiplicación

La multiplicación o producto de dos números racionales:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}}{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}}.

División

Se define la división o cociente de dos racionales r entre s distinto de 0, al producto {\displaystyle r\times s^{-1}}{\displaystyle r\times s^{-1}}. En otra notación,

{\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}}{\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}}.

Es una operación totalmente definida, pero se asume que es una operación inversa de la multiplicación que resuelve la ecuación s·x=r, s≠0.

Inversos

Los inversos aditivo y multiplicativo existen en los números racionales:

{\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\quad {\mbox{y}}\quad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}{\mbox{ si }}a\neq 0.}{\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\quad {\mbox{y}}\quad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}{\mbox{ si }}a\neq 0.}

La clausura algebraica de {\displaystyle \mathbb {Q} }\Q, es el conjunto de los números algebraicos.

Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional diferente de cero puede descomponerse en la forma: {\displaystyle q=up_{1}^{\alpha _{1}}\dots p_{n}^{\alpha _{n}}}q = u p_1^{\alpha_1}\dots p_n^{\alpha_n} donde {\displaystyle p_{i}\in \mathbb {N} }p_i\in \mathbb{N} son números enteros primos, {\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {Z} }\alpha_i\in \mathbb{Z} (siendo algunos de ellos negativos si q no es entero) y {\displaystyle u\in \{1,-1\}}u\in\{1,-1\}. Por ejemplo {\displaystyle 260/693=2^{2}3^{-2}5^{1}7^{-1}11^{-1}13^{1}\,}260/693= 2^2 3^{-2}5^1 7^{-1}11^{-1}13^1\,.