Question

Oblicz sin2(kwadrat), sin alfa, tg alfa,jeśli alfa jest kątem rozwartym oraz cos alfa = -1/3

Answer 1

Odpowiedź:

Jeśli wiadomo, że cos alfa = -1/3, to można obliczyć wartość sin alfa, korzystając z zależności:

sin^2(alfa) + cos^2(alfa) = 1

sin^2(alfa) = 1 - cos^2(alfa)

sin^2(alfa) = 1 - (-1/3)^2

sin^2(alfa) = 8/9

sin(alfa) = ±√(8/9) = ±(2/3)√2

Ponieważ kąt alfa jest rozwarty, to 0 < alfa < π/2 lub π < alfa < 3π/2. Wartość sin alfa jest dodatnia w pierwszym i drugim ćwiartce, a ujemna w trzecim i czwartym ćwiartce.

Tangens kąta alfa można obliczyć ze wzoru:

tg(alfa) = sin(alfa) / cos(alfa)

tg(alfa) = sin(alfa) / (-1/3)

tg(alfa) = -(2/3)√2 / (1/3)

tg(alfa) = -2√2

Aby obliczyć sin^2(alfa), należy skorzystać z zależności:

sin^2(2x) = 4 * sin^2(x) * cos^2(x)

sin^2(2x) = 4 * sin^2(x) * (1 - sin^2(x))

sin^2(2x) = 4sin^2(x) - 4sin^4(x)

Można teraz podstawić wartość sin(alfa) i obliczyć sin^2(2*alfa) z zależności:

sin^2(2*alfa) = 4sin^2(alfa) - 4sin^4(alfa)

sin^2(2*alfa) = 4*(2/3)^2*2 - 4*(2/3)^4

sin^2(2*alfa) = 16/9 - 16/81

sin^2(2*alfa) = 128/81

Ostatecznie, sin^2(kwadrat) = sin^2(2*alfa) = 128