Question

dla jakiej wartości m punkt P(m-4, 5-m) leży na końcowym ramieniu kąta wypukłego którego tangens jest równy -1/3?

Answer 1

Odpowiedź:

Aby punkt P(m-4, 5-m) leżał na końcowym ramieniu kąta wypukłego, musi on znajdować się na prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych oraz tworzącej z osią OX kąt o tangensie równym -1/3.

Tangens kąta jest stosunkiem przeciwprostokątnej do przyprostokątnej, więc możemy zapisać:

tan(alpha) = -1/3 = (przeciwprostokątna) / (przyprostokątna)

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:

(przeciwprostokątna)² + (przyprostokątna)² = długość ramienia²

Ponieważ kąt jest wypukły, to długość ramienia musi być dodatnia, a zatem możemy przyjąć:

(przyprostokątna) = 3

(przeciwprostokątna) = -1 * (3)

Współrzędne punktu P możemy zapisać jako (x, y) = (m-4, 5-m). Zdefiniujmy wektor przesuwający początek układu współrzędnych na punkt P:

v = (-m+4, m-5)

Następnie obliczamy iloczyn skalarny wektora v z wektorem (3, -1):

v dot (3, -1) = (-m+4)*3 + (m-5)*(-1) = -2m + 17

Wartość iloczynu skalarnego v dot (3, -1) jest równa długości wektora v przemnożonej przez długość wektora (3, -1) pomnożoną przez cosinus kąta między tymi wektorami.

Długość wektora (3, -1) to sqrt(3^2 + (-1)^2) = sqrt(10)

Z twierdzenia cosinusów wynika, że:

cos(alpha) = (v dot (3, -1)) / (długość(v) * długość(3, -1))

Podstawiając wyznaczone wcześniej wartości, mamy:

cos(alpha) = (-2m + 17) / (sqrt((m-4)^2 + (5-m)^2) * sqrt(10))

Ponieważ kąt jest wypukły, to musi być mniejszy niż 90 stopni, a zatem cosinus kąta musi być dodatni. Zauważmy również, że długość wektora v jest zawsze dodatnia, a zatem aby cosinus kąta był dodatni, musi być dodatni mianownik wyrażenia, czyli iloczyn długości wektorów.

Zatem możemy zapisać:

(-2m + 17) / (sqrt((m-4)^2 + (5-m)^2) * sqrt(10)) > 0

Mianownik jest zawsze dodatni, zatem nierówność sprowadza się do:

-2m + 17 > 0

2m < 17

m < 8.5

Zatem, aby punkt P(m-4, 5-m) leżał na końcowym ramieniu kąta wypukłego, którego tangens jest równy -1/3, musi być spełniona nierówność m < 8.5.