Question

Dane są proste L i K. Prosta L ma równanie y=x, a prosta K ma równanie y=2x-6. Prosta prostopadła do prostej K i przechodząca przez punkt wspólny prostych L i K ma równanie:
A) y=1/2x + 3
B) y= -1/2x + 9
C)y=-2x + 18
D) y=-1/2x

Proszę o pełne rozwiązanie zadania

Answer 1

Odpowiedź B jest prawidłowa.

Równanie prostej prostopadłej.

W zadaniu należy zaznaczyć poprawny wariant odpowiedzi.

Dane z zadania:

l: y = x

k: y = 2x - 6

Najpierw obliczamy punkt wspólny tych dwóch prostych. Przyrównujemy do siebie, ponieważ:

l: y = x

k: y = 2x - 6

czyli:

x = 2x - 6

x - 2x = -6

-x = - 6 | : (-1)

x = 6

Wtedy: y = 6

Dostaliśmy punkt wspólny dwóch prostych. Jest to punkt o współrzędnych P = (x, y) = (6, 6).

Mając dwie proste w postaci kierunkowej  l: y = a₁ x + b, oraz k: y = a₂x + b to warunek prostopadłości tych prostych wygląda następująco:

[tex]\boxed{a_1 \cdot a_2 = -1}[/tex]

Dane z zadania:

k: y = 2x - 6

więc:

a₁ = 2

Szukamy współczynnika kierunkowego drugiej prostej (a₂).

W takim razie:

[tex]a_1 \cdot a _2 = -1 \ \ \rightarrow \ \ a_2 = \cfrac{-1}{a_1} = -\cfrac{1}{2}[/tex]

Prosta prostopadła do prostej k ma wzór:

y = ax + b, czyli:

[tex]y = -\frac{1}{2}x + b[/tex]

Pozostaje obliczyć jeszcze współczynnik b:

Podstawiamy do wzoru współrzędne punktu P = (x, y) = (6, 6).

Dostaniemy:

[tex]6 = -\frac{1}{2} \cdot 6 + b \\\\6 = -3 + b \\\\b = 9[/tex]

Prosta prostopadła do prostej k, przechodząca przez punkt wspólny prostej l i k ma wzór:

[tex]y = -\frac{1}{2}x + b[/tex]

Wniosek: Odpowiedź B jest prawidłowa.

#SPJ1