Question

Dana jest prosta k o równaniu y=2x+2 oraz prosta l równaniu -1/2x + 7. punkt A jest punktem przecięcia tych prostych a punkt B ma współrzędne -4,9. Wyznacz punkt C należący do prostej K tak aby długość AB była równa długości AC.

Answer 1

Odpowiedź:

Pierwszym krokiem jest znalezienie punktu A, czyli punktu przecięcia prostych k i l. Możemy to zrobić przez rozwiązanie równania:

2x + 2 = -1/2x + 7

Przekształcamy je do postaci:

2,5x = 5

x = 2

Podstawiając x do jednego z równań, otrzymujemy:

y = 2x + 2 = 6

Więc punkt A ma współrzędne (2, 6).

Następnie, obliczamy długość odcinka AB:

AB = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = sqrt((-4 - 2)^2 + (-9 - 6)^2) = sqrt(64 + 225) = sqrt(289) = 17

Chcemy znaleźć punkt C na prostej k, dla którego AC ma długość równą AB. Zatem, odległość między punktami A i C musi wynosić 17.

Możemy to zapisać jako równanie:

sqrt((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2) = 17

Zauważmy, że punkt C należy do prostej k, więc możemy zapisać jego współrzędne jako (x_C, 2x_C + 2).

Podstawiając to do równania, otrzymujemy:

sqrt((x_C - 2)^2 + (2x_C - 4)^2) = 17

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy dwie wartości x_C: 7 lub -3. Wybieramy wartość x_C = 7, ponieważ punkt C musi znajdować się po prawej stronie punktu A (z racji, że prosta k ma nachylenie dodatnie).

Zatem, punkt C ma współrzędne (7, 16).

Odpowiedź: punkt C należący do prostej k i spełniający warunek długości AB = długości AC ma współrzędne (7, 16).