określ wartości c dla których funkcja f jest odpowiednio funkcją homograficzną, liniową (nie stałą), stałą
f(x)= (4x-6):cx+3
f(x)= (1/2x-4):(x-c)
f(x)=(6x):(cx-5)
f(x)= (4x-6):cx+3
f(x)= (1/2x-4):(x-c)
f(x)=(6x):(cx-5)
Odpowiedź:
Funkcja homograficzna będzie liniowa (ale niestała) wtedy, gdy mianownik będzie liczbą całkowitą.
w funkcji 1) by mianownik był liczbą calkowitą, musi być c=0. Czyli by funkcja 1) była liniowa, ale nie stała: c=0.
Dalej skorzystaj z tego, że funkcja homograficzna jest stała, gdy:
\begin{gathered}f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \\ ad-bc=0\end{gathered}f(x)=cx+dax+bad−bc=0
Gdy zachodzi takie równanie otrzymasz funkcję stałą. W funkcji 1) masz:
a=4
b=-6
c=c
d=3
rozwiązujemy ad-bc=0
12+6c=0
6c=-12
c=-2. -> dla tego c jest stała.
2) Tutaj nie da się zrobić, by funkcja była liniowa, ale niestała, bo żebyś otrzymał liczbę rzeczywistą w mianowniku, musiałbyś dokonać podstawienia c=x. Ale otrzymałbyś zero, a przez zero dzielić nie można. Więc nierealne jest otrzymanie takiej funkcji.
By otrzymać funkcję stałą, znów wypisujesz:
a=0,5
b=-4
c=1
d=c(Twój parametr)
ad-bc=0
0,5c+4=0
0,5c=-4
c=-8
Dla c=-8 jest stała.
3) Tu by mianownik był liczbą rzeczywistą musi wyjść c=0. Więc dla c=0 jest liniowa, niestała.
Teraz znów liczymy stałą:
a=6
b=0
c=c
d=-5
ad-bc=0
-30-0=0
Równanie sprzeczne. Zatem NIGDY nie otrzymasz funkcji stałej :)
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie sprzeczne. Zatem NIGDY nie otrzymasz funkcji stałej :)