Dwa elektrony znajdują się w jednowymiarowej pułapce harmonicznej tzn. w potencjale V(x)=1/2*p*x². P.... Question from @Aga

June 2022 1 24 Report

Dwa elektrony znajdują się w jednowymiarowej pułapce harmonicznej tzn. w potencjale V(x)=1/2*p*x². Proszę znaleźć położenia równowagowe tych elektronów (x₁, x₂). Uwaga: elektrony oddziałują ze sobą kulombowsko.

[Wakacyjna lista wyzwań (2021) ; 38]

platon1984

Elektrony oddziałują ze sobą kulombowsko, czyli mamy potencjał oddziaływania:

$V_C=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0|x_2-x_1|}$

oczywiście zależy od od wzajemnej odległości elektronów. Z drogiej strony elektrony są w pułapce harmonicznej:

$V_H=\frac{1}{2}px_1^2+\frac{1}{2}px_2^2$

i tu ich położenia są niezależne.

Funkcjonał energii można zatem zapisać jako:

$E[x_1,x_2]=\frac{1}{2}p(x_1^2+x_2^2)+\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{|x_2-x_1|}$

Położenie równowagowe oznacza minimalizację energii, wprowadzę dodatkowo oznaczenia:

$\alpha=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}$

oraz założę:

$x_2>x_1$

$\frac{\partial E}{\partial x_1}=px_1+\frac{\alpha}{(x_2-x_1)^2}=0\\\frac{\partial E}{\partial x_2}=px_2-\frac{\alpha}{(x_2-x_1)^2}=0$

żeby nie rozwiązywać tych równań osobno po prostu je dodam stronami

$p(x_1+x_2)=0\Rightarrow x_1=-x_2$

oraz odejmę stronami

$p(x_2-x_1)-\frac{2\alpha}{(x_2-x_1)^2}=0\\(x_2-x_1)^3=\frac{2\alpha}{p}\\8x_2^3=\frac{2\alpha}{p}\\x_2=\sqrt[3]{\frac{\alpha}{4p}}\\x_1=-\sqrt[3]{\frac{\alpha}{4p}}$

oczywiście p>0; dla p=0 wcale nie ma rozwiązań, zaś dla p<0 mamy sprzeczność z moim założeniem x_2>x_1, które oczywiście można zamienić na x_1>x_2, co zamieni rozwiązania, ale nie wpływa na warunek p>0

Alternatywny rozwiązanie odwołuje się do warunku zerowej siły (siła to

F=-grad V )

$-px_1+F_{21}=0\\-px_2+F_{12}=0$

gdzie F_{ij} jest siłą z jaką elektron i-ty działa na elektron j-ty. Z warunku wzajemności oddziaływań wynika, że:

$F_{12}=-F_{21}$

naturalnie można jawnie zapisać siłę Coulomba

$F_{21}=-F_{12}=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0(x_2-x_1)^2}$

ale nie jest to na tym etapie potrzebne. Ponownie, dodając równania stronami

$-p(x_1+x_2)=0\\x_1=-x_2$

zaś odejmując:

$\frac{2\alpha}{x_2-x_1}-p(x_2-x_1)=0\\(x_2-x_1)^3=\frac{2\alpha}{p}$

co sprowadza nas to tego samego wyniku.

pozdrawiam

2 votes Thanks 3

Bila pemain dapat menerobos permainan lawan dilanjutkan lay-up bola masuk ke ring basket mendapat nilai...?

na obszycie jednej sukienki księżniczki potrzeba 375 cm koronki.ile potrzeba do obszycia takich dwóchile to metrów

Otot berkontraksi karena terjadi hubungan antara...

Kerja otot trisep dan bisep, kerja otot trisep dan bisep terjadi secara...

Tolong jelaskan apa yang dimadsud dengan saluran volkman...

Apa yang disebut gerak parabola ?

Apa itu tekanan tugor, dan bagaimana itu bisa terjadi ?

Hukum newton tolong jelaskan dengan memakai bahasamu sendiri apa yang di madsud dengan hukum newton 1 beserta contohnya

Hukum Newton bisa tolong jelasin ngak yang di madsud hukum newton 1, tapi pakai bahasa kamu sendiri, dan contohnya,

Bagaimanakah cara memanfaatkan lahan yg dilakukan pada pertanian lahan kering?

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social