28. Dziedziną funkcji kwadratowej y = f(x) jest przedział (-3; 0). Wykresem tej funkcji jest część paraboli o wierzchołku (-2, -6) przechodzącej przez punkt o współrzędnych (-1,-4). Wyznacz wzór funkcji w postaci kanonicznej, naszkicuj jej wykres i podaj zbiór wartości.
Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{f(x)=2(x+2)^2-6}[/tex]
Wykres w załączniku
Dziedzina funkcji
Dziedziną nazywamy zbiór wszystkich argumentów (x-ów), dla których określona jest funkcja.
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
[tex]\huge\boxed{f(x)=a(x-p)^2+q}[/tex]
gdzie:
Punkt należący do funkcji
Punkt o współrzędnych P=(x₀, y₀) należy do funkcji kwadratowej wtedy, kiedy po podstawieniu współrzędnych punktu do wzoru funkcji, lewa strona równania jest równa prawej stronie równania.
[tex]\boxed{\begin{array}{cc}\text{Postac ogolna: }&y_0=ax_0^2+bx_0+c\\\text{Postac kanoniczna: }&y_0=a(x_0-p)^2+q\\\text{Postac iloczynowa: }&y_0=a(x_0-x_1)(x_0-x_2)\end{array}}[/tex]
Rozwiazanie:
[tex]\underline{\underline{D: x\in(-3; 0)}}[/tex]
[tex]W=(-2; -6), P=(-1, -4)[/tex]
1. Podstawiamy współrzędne wierzchołka paraboli do postaci kanonicznej
[tex]y=a(x+2)^2-6[/tex]
2. Podstawiamy współrzędne punktu P do wzoru i wyznaczamy współczynnik kierunkowy.
[tex]-4=a(-1+2)^2-6 |+6\\2=a\cdot 1^2\\\underline{a=2}[/tex]
3. Podstawiamy wspolczynnik kierunkowy do wzoru wyznaczonego w punkcie 1.
[tex]\boxed{f(x)=2(x+2)^2-6}[/tex]
Należy zauważyć, że dziedzina ogranicza nam w pewnym stopniu wykres funkcji. Wyznaczmy zatem punkty graniczne wykresu.
[tex]f(-3)=2\cdot(-3+2)^2-6\\f(-3)=2\cdot (-1)^2-6\\f(-3)=2-6\\f(-3)=-4\\\\f(0)=2\cdot(0+2)^2-6\\f(0)=2\cdot 2^2-6\\f(0)=8-6\\f(0)=2[/tex]
Zaznaczamy powyższe punkty oraz wierzchołek na układzie współrzędnych i szkicujemy wykres funkcji.