Diberikan a adalah bilangan bulat yang memenuhi 1+ 1/2+1/3+1/4+…+1/27=a/27! Sisa dari a jika dibagi .... Question from @tilareta

September 2018 1 89 Report

Diberikan a adalah bilangan bulat yang
memenuhi 1+ 1/2+1/3+1/4+…+1/27=a/27!
Sisa dari a jika dibagi oleh 17 adalah ?

Takamori37 $\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{27}=\frac{a}{27!} \\\\ \frac{27!+27!/2+27!/3+...+27!/27}{27!}=\frac{a}{27!} \\\\ a=27!+\frac{27!}{2}+\frac{27!}{3}+...+\frac{27!}{27}$

Untuk setiap 27!, tentu bilangan tersebut habis dibagi 17 karena mengandung faktor 17, sehingga:
$a\bmod 17\equiv0+0+...+\frac{27!}{17}+...+0 \\ a\bmod 17\equiv\frac{27!}{17}$
Maka.
a mod 17 = 1.2.3.....16 x 18.19...27
Menurut Teorema Wilson.
$(n-1)!\equiv-1\bmod n$
Berlaku pula.
a mod 17 = (-1) mod 17 x 18.19....27 mod 17
Hukum keterbagian.
a mod 17 = (-1) mod 17 x 1.2.3....10 mod 17

Untuk 10! mod 17.
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 mod 17
(7.2) mod 17 x (4.8) mod 17 x (3.5) mod 17 x (6.2) mod 17 x (9.5) mod 17
14 mod 17 x 32 mod 17 x 15 mod 17 x 12 mod 17 x 45 mod 17
14 mod 17 x 15 mod 17 x 15 mod 17 x 12 mod 17 x 11 mod 17
14 mod 17 x (-2.-2.-5.-6) mod 17
14 mod 17 x 120 mod 17
14 mod 17 x 1 mod 17
14 mod 17

Maka:
a mod 17 = (-1) mod 17 x 14 mod 17
a mod 17 = -14 mod 17
a mod 17 = 3 mod 17

Sisa a dibagi 17 adalah 3

1 votes Thanks 2