Question

Rozwiąż równiania i nierówności oraz podaj dziedzinę:
a) log_1/2(5 - x^2 + 4x) = -3
b) log_x+1(x^2 + 3) = 2
c) log_3(4 - 2x) >= 1

_* - przy podstawie

Answer 1

Odpowiedź:

a)

Rozwiązanie:

log_1/2(5 - x^2 + 4x) = -3

Przekształcamy logarytm:

1/2^(-3) = 5 - x^2 + 4x

8 = 5 - x^2 + 4x

x^2 - 4x - 3 = 0

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

x1 = 3

x2 = 1

Sprawdzamy, czy oba rozwiązania należą do dziedziny logarytmu, czyli (5 - x^2 + 4x) > 0:

Dla x1 = 3 mamy 5 - 3^2 + 43 = 2, więc x1 spełnia warunek.

Dla x2 = 1 mamy 5 - 1^2 + 41 = 8, więc x2 spełnia warunek.

Odpowiedź: x1 = 3 lub x2 = 1, dziedzina: (-∞,-2) ∪ (2,∞)

b)

Rozwiązanie:

log_x+1(x^2 + 3) = 2

Przekształcamy logarytm:

x^2 + 3 = (x + 1)^2

x^2 + 3 = x^2 + 2x + 1

2x = -2

x = -1

Sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny logarytmu, czyli (x^2 + 3) > 0:

Dla x = -1 mamy (-1)^2 + 3 = 4, więc x spełnia warunek.

Odpowiedź: x = -1, dziedzina: (-1,∞)

c)

Rozwiązanie:

log_3(4 - 2x) >= 1

Przekształcamy logarytm:

3^1 <= 4 - 2x

3 <= 4 - 2x

-2x <= 1

x >= -1/2

Odpowiedź: x >= -1/2, dziedzina: (-∞,2)

liczę na naj ;)