Question

22 Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych spełniające równanie (x² - 2x - y) (2x + 1 + y) = 1. ​

Answer 1

Verified answer

[tex]\huge\left\{\begin{array}{ccc}x=-1\\y=2\end{array}\right\ \vee\ \left\{\begin{array}{ccc}x=1\\y=-2\end{array}\right[/tex]

Równania z pierwiastkami całkowitymi.

Dane jest równanie:

[tex](x^2-2x-y)(2x+1+y)=1[/tex]

Do wyznaczenia mamy wszystkie pary liczb całkowitych, które spełniają powyższe równanie.

W związku z tym otrzymujemy dwa układy równań:

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x^2-2x-y=1\\2x+1+y=1\end{array}\right\ \vee\ \left\{\begin{array}{ccc}x^2-2x-y=-1\\2x+1+y=-1\end{array}\right[/tex]

ponieważ 1 = 1 · 1 = (-1) · (-1)

Rozwiązujemy układy równań metodą podstawiania:

1.

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x^2-2x-y=1\\2x+1+y=1&|-1\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}x^2-2x-y=1\\2x+y=0&|-2x\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}x^2-2x-y=1&(1)\\y=-2x&(2)\end{array}\right[/tex]

Podstawiamy (2) do (1):

[tex]x^2-2x-(-2x)=1\\\\x^2-2x+2x=1\\\\x^2=1\to x=\pm\sqrt1\\\\\boxed{x=-1\ \vee\ x=1}[/tex]

Podstawiamy do (2):

[tex]x=-1\to y=-2\cdot(-1)\to \boxed{y=2}\\\\x=1\to y=-2\cdot1\to\boxed{y=-2}[/tex]

Otrzymujemy pary:

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=-1\\y=2\end{array}\right\ \vee\ \left\{\begin{array}{ccc}x=1\\y=-2\end{array}\right[/tex]

2.

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x^2-2x-y=-1\\2x+1+y=-1&|-2x-1\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}x^2-2x-y=-1&(1)\\y=-2x-2&(2)\end{array}\right[/tex]

podstawiamy (2) do (1):

[tex]x^2-2x-(-2x-2)=-1\\\\x^2-2x+2x+2=-1\qquad|-2\\\\x^2=-3[/tex]

otrzymujemy sprzeczność, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Ostatecznie mamy rozwiązanie:

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=-1\\y=2\end{array}\right\ \vee\ \left\{\begin{array}{ccc}x=1\\y=-2\end{array}\right[/tex]