El beneficio marginal de cierta compañía está dado por:
B'(t)=10〖(x-20)e〗^(-x/20)
dólares por unidad cuando el nivel de producción es de x unidades. ¿Cuál será el beneficio implicado en incrementar la producción de 100 a 300 unidades?
B'(t)=10〖(x-20)e〗^(-x/20)
dólares por unidad cuando el nivel de producción es de x unidades. ¿Cuál será el beneficio implicado en incrementar la producción de 100 a 300 unidades?
Sabemos que el beneficio por el incremento de a unidades a b unidades está dado por:
[tex]{\displaystyle B = \int_a^b B'(t)dt}[/tex]
[tex]{\displaystyle B=\int_{100}^{300}10(x-20)e^{-\frac{x}{20}}dx}[/tex]
[tex]{\displaystyle B=10\int_{100}^{300}(x-20)e^{-\frac{x}{20}}dx}[/tex]
[tex]{\displaystyle B=10\left( \int_{100}^{300}xe^{-\frac{x}{20}}dx-\int_{100}^{300}20e^{-\frac{x}{20}}dx\right)}[/tex]
Resolvemos las integrales por separado:
[tex]{\displaystyle \int_{100}^{300} \:xe^{-\frac{x}{20}}dx}[/tex]
Aplicamos integración por partes con u = x y v' = x/20
[tex]{\displaystyle = \left[\left[-20e^{-\frac{x}{20}}x\right]_{100}^{300}+\int_{100}^{300} \:20e^{-\frac{x}{20}}dx\right]}[/tex]
Sustituimos:
[tex]{\displaystyle B=10\left(\left[-20e^{-\frac{x}{20}}x\right]_{100}^{300}+\int_{100}^{300} \:20e^{-\frac{x}{20}}dx -\int_{100}^{300}20e^{-\frac{x}{20}}dx\right)}[/tex]
Note que las dos últimas integrales se cancelan y nos queda:
[tex]B = 10\cdot\left[-20e^{-\frac{x}{20}}x\right]_{100}^{300}[/tex]
[tex]B=(-20e^{-\frac{300}{20}}\cdot300 + 20e^{-\frac{100}{20}}\cdot100)[/tex]
[tex]\boxed{B = 10\left(\dfrac{2000}{e^5}-\dfrac{6000}{e^{15}}\right)\approx134.74}[/tex]
R/ El beneficio implicado en el incremento de la producción es de 134.74 dólares.