Question

20 Dla jakich wartości parametru p zbiorem wartości funkcji f(x) = (p²-4)x² + 2 (p+2)x+2 jest zbiór liczb nieujemnych? ​

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]p\in(-\infty;-2> \cup<6;+\infty)[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]f(x) = (p^2-4)x^2 + 2(p+2)x+2\\\\a=p^2-4\\\\b=2(p+2)\\\\c=2[/tex]

Mogą zajść przypadki:

1.

[tex]a=0\\\\p^2-4=0\\\\(p+2)(p-2)=0\\\\p+2=0\ \ \ lub\ \ \ p-2=0\\\\p=-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p=2[/tex]

Wtedy funkcja jest funkcją liniową postaci

[tex]p=-2 \Rightarrow f(x)=0+0+2=2[/tex]

[tex]p=2 \Rightarrow f(x)=0+8x+2=8x+2[/tex]

Dla [tex]p=-2[/tex] przyjmie wartości dodatnie.

----------------------

2. Zbiorem wartości funkcji ma być zbiór liczb nieujemnych, więc ramiona paraboli muszą być skierowane do góry.

[tex]a>0\\\\p^2-4>0\\\\(p+2)(p-2)>0\\\\p\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)[/tex]

Może mieć co najwyżej jedno miejsce zerowe.

[tex]\Delta \le 0\\\\\Delta=[2(p+2)]^2-4\cdot(p^2-4)\cdot2=4(p^2+4p+4)-8p^2+32=\\4p^2+16p+16-8p^2+32=- 4p^2 + 16p + 48\\\\\Delta_p=16^2-4\cdot(-4)\cdot48=265+768=1024\\\\\sqrt{\Delta_p}=\sqrt{1024}=32\\\\p_1=\frac{-16-32}{2\cdot(-4)}=\frac{-48}{-8}=6\\\\p_2=\frac{-16+32}{2\cdot(-4)}=\frac{16}{-8}=-2\\\\p\in(-\infty;-2>\cup<6;+\infty)[/tex]

Rzędna wierzchołka paraboli musi być nieujemna

[tex]-\frac{\Delta}{4a}\ge0\\\\-\frac{- 4p^2 + 16p + 48}{4(p^2-4)}\ge0\\\\-\frac{- 4(p+2)(p-6)}{4(p+2)(p-2)}\ge0\\\\\frac{p-6}{p-2}\ge0\\\\(p-6)(p-2)\ge0\\\\p\in(-\infty;2>\cup<6;+\infty)[/tex]

Podsumowując

[tex]p\in(-\infty;-2)\cup<6;+\infty)[/tex]

----------------------

Z 1. i 2 otrzymujemy

[tex]p\in(-\infty;-2> \cup<6;+\infty)[/tex]