Question

Wykaż, że dla x ∈ (-π/2;π/2) wykresy funkcji f(x) = sin⁡x i g(x) = tg⁡x mają tylko jeden punkt wspólny.

Answer 1

Aby pokazać, że wykresy funkcji f(x) = sin⁡x i g(x) = tg⁡x mają tylko jeden punkt wspólny, należy wykazać, że ich pochodne są różne w przedziale x ∈ (-π/2;π/2).

Pochodna funkcji sin⁡x wynosi cos⁡x, a pochodna funkcji tg⁡x wynosi sec^2⁡x, gdzie sec⁡x to funkcja sekans. Zauważmy, że dla każdego x ∈ (-π/2;π/2), wartości cos⁡x i sec^2⁡x są różne.

Zatem dy/dx sin⁡x ≠ dy/dx tg⁡x dla każdego x ∈ (-π/2;π/2).

Skoro pochodne tych funkcji są różne, to ich wykresy przecinają się tylko raz w przedziale x ∈ (-π/2;π/2), co kończy dowód.