2. Tentukanlah akar persamaan f(x) = x³ - 2x + 5 = 0 secara pendekatan menggunakan metode Newton-Raphson dengan mengambil titik awal x₁ = -3 dan batas kesalahan relatif kurang dari 5%. Lakukan perhitungan dengan ketelitian empat angka di belakang koma.
Jawaban:
Untuk mencari akar persamaan f(x) = x³ - 2x + 5 = 0 menggunakan metode Newton-Raphson, kita akan melakukan iterasi dengan memperbarui nilai x menggunakan rumus berikut:
x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))
Di sini, x(n) adalah nilai x pada iterasi ke-n, f(x(n)) adalah nilai fungsi f pada x(n), dan f'(x(n)) adalah turunan fungsi f pada x(n).
Langkah-langkah dalam metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut:
1. Mulai dengan titik awal x₁ = -3.
2. Hitung nilai f(x₁) = f(-3).
3. Hitung nilai f'(x₁) = turunan dari f(x) pada x₁. Dalam kasus ini, f'(x) = 3x² - 2.
4. Hitung nilai x₂ menggunakan rumus x₂ = x₁ - f(x₁)/f'(x₁).
5. Hitung nilai f(x₂) = f(x₂).
6. Periksa apakah batas kesalahan relatif kurang dari 5%. Jika iya, berhenti dan kembalikan nilai x₂ sebagai akar pendekatan.
7. Jika tidak, perbarui nilai x₁ menjadi x₂ dan ulangi langkah 3 hingga 6.
Mari kita lakukan perhitungan secara berurutan:
Iterasi 1:
x₁ = -3
f(x₁) = (-3)³ - 2(-3) + 5 = -23
f'(x₁) = 3(-3)² - 2 = 19
x₂ = -3 - (-23)/19 = -2.2105
f(x₂) = (-2.2105)³ - 2(-2.2105) + 5 = 7.5422
Batas kesalahan relatif = |(x₂ - x₁)/x₂| * 100% = |-2.2105 - (-3)/-2.2105| * 100% = 35.83%
Iterasi 2:
x₁ = -2.2105
f(x₁) = (-2.2105)³ - 2(-2.2105) + 5 = 7.5422
f'(x₁) = 3(-2.2105)² - 2 = 13.962
x₂ = -2.2105 - 7.5422/13.962 = -2.0253
f(x₂) = (-2.0253)³ - 2(-2.0253) + 5 = 0.2508
Batas kesalahan relatif = |(x₂ - x₁)/x₂| * 100% = |-2.0253 - (-2.2105)/-2.0253| * 100% = 9.15%
Iterasi 3:
x₁ = -2.0253
f(x₁) = (-2.0253)³ - 2(-2.0253) + 5 = 0.2508
f'(x₁) = 3(-2.0253)² - 2 = 13.647
x₂ = -2.0253 - 0.2508/13.647 = -2.0228
f(x₂) = (-2.0228)³ - 2(-2.0228) + 5 = 0.0005
Batas kesalahan relatif = |(x₂ - x₁)/x₂| * 100% = |-2.0228 - (-2.0253)/-2.0228| * 100% = 0.12%
Karena batas kesalahan relatif kurang dari 5%, kita dapat menganggap bahwa akar pendekatan persamaan f(x) = x³ - 2x + 5 = 0 adalah x = -2.0228 dengan ketelitian empat angka di belakang koma.